equazione irrazionale parametrica

Ciao Evaristo! Lascia che ricopi la tua equazione per vedere se ho capito:$$ \sqrt{1 + \dfrac{8a}{x}} = 1 + \dfrac{2a}{\sqrt{x}} $$L'equazione di per sé non è complicata, ma può generarsi del caos qualora non si seguano rigorosamente i passaggi elencati qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-disequazioni-parametriche-irrazionali-condizioni-di-esistenza-esercizi-svolti-15840.html e qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-irrazionali-fratte-esercizi-equazione-irrazionale-procedimento-14338.html. Iniziamo dalle condizioni di esistenza: abbiamo dei denominatori e delle radici; dopo pochi coni otteniamo $$ \text{C.E.}: \ \begin{cases} \text{Denominatore }: & x > 0 \\ \text{Radicale }: & x \geq -8a \end{cases} $$Visto che ne abbiamo due e devono valere conteporaneamente, dobbiamo decidere quale delle due è più "stringente". Primo, ci accorgiamo che per $a = 0$ sono la stessa condizione, quindi tratteremo questo caso a parte; questo ci lascia con due "universi" separati: $a > 0$ e $a < 0$. Per il primo caso, le condizioni di esistenza si riducono a $x > 0$; mentre nel secondo caso, avremo $x \geq -8a$. Ricapitolando:$$ \text{C.E.}: \ \begin{cases} \text{Per } a > 0: & x > 0 \\ \text{Per } a < 0: & x \geq -8a \end{cases} $$Ora risolviamo l'equazione nei vari casi. Per ciascuno di essi, i passaggi saranno molto simili. Ricorda solo che, ogni volta che elevi al quadrato per mandare via una radice, occorre imporre che ambo i membri dell'equazione siano $ \geq 0$: le cosiddette condizioni di accettabilità. Siccome abbiamo una radice isolata (quel $ + \sqrt{x}$) avremo bisogno di fare due quadrati, e quindi di imporre due condizioni di accettabilità, per ognuno dei casi. Una volta arrivati alla soluzione provvisoria, intersechiamo le condizioni di accettabilità con quelle di esistenza per ottenere la "vera" soluzione. In generale i conti possono essere complicati ma qui siamo fortunati: uno schema riassuntivo delle soluzioni è il seguente$$ \begin{array}{ll} \text{Param.} & \text{Sol.} \\ a < -2 & \text{imp.} \\ -2 \leq a < 0 & x = (2-a)^2 \\ a = 0 & x > 0 \\ 0 < a < 2 & x = (2-a)^2 \\ a \geq 2 & \text{imp.} \end{array}$$Ricorda di fare tutti i passaggi! Spero che sia tutto chiaro, se hai altri dubbi chiedi pure! Ciao e buona giornata :D