Fermat in due variabili
Dimostrazione di Fermat in due variabili Qualcuno sa indicarmi o fornirmi una dimostrazione di Fermat in due variabili? Perchè la mia professoressa ci ha fatto scrivere solo questo: avendo fissato la variabile questa è come se fosse una funzione di una sola variabile per cui posso applicare Fermat in una sola variabile. Però altri professori all'orale dicono che non è sufficiente e che bisogna dimostrare Fermat ad una sola variabile nel disegno di Fermat in due variabili ma soprattutto sapete fornirmi un'altra dimostrazione?????
il 24 Gennaio 2016, da Miriam Di Sarno
Ciao Miriam. La versione “in due variabili” del teorema di Fermat per i punti stazionari, per come la intendo io, è questa: $$ $$Consideriamo una funzione $f: \mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}$ e un punto $(a,b)$ del suo dominio che sia estremante per $f$. Se $f$ è differenziabile in $(a,b)$, allora $\nabla f (a, b) = (0,0)$. $$ $$La dimostrazione di questo teorema è, come hai anticipato tu, sostanzialmente analoga a quella per il teorema di Fermat in una variabile (che trovi qui: https://library.weschool.com/lezione/fermat-teorema-massimi-minimi-punti-stazionari-derivate-analisi-14877.html). Iniziamo notando che se una funzione è differenziabile in un suo punto allora esistono tutte le sue derivate direzionali (come spiegato qui: https://library.weschool.com/lezione/differenziale-di-una-funzione-teorema-del-differenziale-totale-piano-tangente-15588.html): in particolare esiste anche la derivata parziale rispetto a $x$, ovvero esiste finito il limite $$ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h, b)-f(a,b)}{h} = l_x $$Senza perdere di generalità possiamo supporre che $(a,b)$ sia un punto di massimo (se fosse di minimo la dimostrazione si riformula facilmente). Essendo punto di massimo, il valore che $f$ assume in $(a,b)$ sarà maggiore o uguale a qualsiasi altro valore che $f$ assume “nelle vicinanze” di $(a,b)$, come per esempio in $(a+h, b)$ con $h \in \mathbb{R}$: ovvero $f(a,b) \geq f(a+h, b)$ cioè $f(a+h, b) - f(a,b) \leq 0$. Quindi ##KATEX##\begin{aligned} \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h} \leq 0 & \quad \text{quando }h>0 \\ \frac{f(a+h, b) - f(a,b)}{h} \geq 0 & \quad \text{quando }h < 0 \end{aligned}##KATEX##Facendo tendere $h$ a $0$ da destra e da sinistra, otteniamo ##KATEX##\begin{aligned} \frac{ \partial f}{\partial x}(a,b) & \leq 0 \\ \frac{ \partial f}{\partial x}(a,b) & \geq 0 \end{aligned}##KATEX##il che mostra come in realtà $$\frac{ \partial f}{\partial x}(a,b) = 0$$dato che sappiamo già che $\frac{ \partial f}{\partial x}(a,b)$ esiste ed è finito. Facendo un ragionamento analogo per $\frac{ \partial f}{\partial y}(a,b)$ otteniamo la nostra tesi! Tutto chiaro? Fammi sapere :)