funzioni
Ciao ragazzi mi potreste spiegare passo dopo passo il procedimenti di questa funzione? y=x/x+4 + 1/2x+6
il 02 Novembre 2015, da Francesco Iacussi
Ciao Francesco! Allora, come prima cosa lasciami riscrivere la funzione per vedere se ho capito bene$$ f(x) = \frac{x}{x+4} + \frac{1}{2x+6}$$Ci ho azzeccato? Ad ogni modo, procediamo con l'analisi della funzione: ti consiglio di seguire quelli indicati in questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/studio-di-funzione-lista-delle-cose-da-fare-7604.html. Innanzitutto serve stabilire il dominio di questa funzione: ci sono delle frazioni algebriche, è necessario porre i denominatori diversi da zero. Otteniamo quindi il dominio$$ D_f = \{x \in \mathbb{R} \ \lvert \ x \neq -3 \ \wedge \ x \neq -4 \} = (-\infty,-4) \cup (-4,-3) \cup (-3,+\infty)$$La forma in cui è scritta però non mi piace tanto: ti consiglierei di sommare le frazioni: dopo un po' di conti dovresti arrivare a $\frac{2x^2 + 7x + 4}{2x^2 + 14x + 24}$: in questa forma è più facile scoprire gli zeri e fare i limiti a $\pm \infty$. Per svolgere i limiti, ti consigli di seguire il procedimento spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/risolvere-limiti-funzioni-razionali-fratte-esercizi-svolti-matematica-9627.html e qui https://library.weschool.com/lezione/risolvere-forme-di-indeterminazione-limiti-infinito-su-infinito-9628.html. Otteniamo che##KATEX##\begin{aligned} \lim_{x \to -3^{\pm}} f(x) = \mp \infty & \lim_{x \to -4^{\pm}} f(x) = \pm \infty \\ \lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 & \end{aligned}##KATEX##Con un rapido studio del segno, scopriamo che la funzione ha due zeri, in $x_{\pm} = \frac{-7 \pm \sqrt{17}}{4}$, e che è positiva su $(-\infty, -3) \cup (-4, x_-) \cup (x_+, +\infty)$ e negativa su $(-3,-4) \cup (x_-,x_+)$; osserviamo anche che è continua e derivabile su tutto il suo dominio. Mediante lo studio della derivata (che puoi calcolare facilmente dalla forma iniziale, e seguendo le regole di derivazione https://library.weschool.com/lezione/derivate-di-funzioni-elementari-tabella-e-promemoria-7166.html), si ottiene che la funzione ha un minimo relativo in $\frac{-20+2\sqrt{2}}{7}$ ed un massimo relativo in $\frac{-20-2\sqrt{2}}{7}$. Se ti occorre anche lo studio della convessità, beh, si tratta di fare una derivata seconda... Fammi sapere che cosa ti viene :D Ciao e buona giornata!