Funzioni continue
Sia f(x) la funzione definita in R da: f(x)= parentesi graffa: x sen(1/x) se x=/0 1 se x=0 Che tipo di discontinuità ammette tale funzione? Ho ragionato nel seguente modo:il dominio della funzione x sen(1/x) è compreso tra -1 e 1 compresi [-1,1]. Di conseguenza se x=1 allora f(x)= 1sen(1)=0 e per x=-1, allora f(x)= -1sen(-1) =0, ovviamente uno tenderà verso lo 0positivo (cioè da dx) e l'altro verso lo zero negativo (cioè da sx). per valori molto vicini ad x=0 si verificherà la stessa cosa, ma ovviamnte la f(x) di questi valori sarà ancora più vicina allo 0. Quindi man mano che x tende a -1 o a 1 la f(x) si allontanerà lentamente dallo 0. Sappiamo che nel punto x=0 la f(x) =1 .So che la funzione è discontinua ma non riesco a calcolarlo matematicamente, o meglio immagino il grafico e penso ci sia un "salto" tra x=0 e X=1 dove le f(x) sono rispettiavemnte 1 e 0. In definitiva la mia domanda è sapere come posso calcolare la discontinuità. La solucione del problerma è discontinuità eliminabile in xO= 0. Perchè?. Potete drimi se il mio ragionamento va bene. Grazie mille
il 13 Novembre 2016, da Maria Pia Maione
Ciao Maria Pia! Innanzitutto lascia che riscriva la funzione che hai definito:$$ f(x) = \begin{cases} x \sin\left( \frac{1}{x} \right) & \text{se } x \neq 0 \\ 1 & \text{se } x = 0 \end{cases}$$Per scoprire se una funzione presenta una discontinuità, puoi fare riferimento a questo contenuto: https://library.weschool.com/lezione/punti-discontinuita-terza-prima-specie-funzione-analisi-matematica-14935.html. Come detto da te, la funzione è definita "in $\mathbb{R}$", e quindi il dominio lo sappiamo già: $\mathbb{R}$! Due delle parti della funzione, $x$ e $\sin(\cdot)$ sono continue (come si spiega qui https://library.weschool.com/lezione/come-risolvere-limite-di-funzione-continua-esercizi-svolti-formule-9620.html). La "parte" che dà problemi è $\frac{1}{x}$, dentro la funzione seno. Questa non è definita per $x = 0$, e quindi non è nemmeno continua in $x = 0$. La funzione $f$ però è definita in $x=0$, e vale $1$. Ora, dobbiamo controllare che, vicino a $0$, i valori della funzione si avvicinino effettivamente a $1$, e non vadano a spasso altrove: dobbiamo controllare che$$ \lim_{x \to 0} f(x) = 1 $$Il limite è un po' complicato da risolvere, ma possiamo usare un trucco: sostituiamo $t = \frac{1}{x}$. In questo modo, abbiamo che la funzione si può scrivere come $f(t) = \frac{1}{t} \sin(t) = \frac{\sin(t)}{t}$, e il limite passa ad essere per $t \to \pm\infty$. Poi ci dobbiamo solo ricordare di ri-sostituire $x = \frac{1}{t}$, perché a noi interessa $f(x)$, non $f(t)$. Ti consigli di leggerti, a riguardo, la parte finale di questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html. Prova così e dovresti arrivare alla soluzione! Fammi sapere per qualsiasi dubbio o domanda :3 Ciao e buona giornata.