Geometria
Determina i lati di un trapezio isoscele circoscritto ad una circonferenza sapendo che il suo perimetro misura 100 metri e la sua area è 600 metri quadri
il 31 Luglio 2016, da Rita Moliterno
Ciao Rita! Fondamentale per la risoluzione di questo problema è comprendere che ruolo gioca la circonferenza. Infatti, se provassimo ad usare le formule per il trapezio (che riportiamo qui https://library.weschool.com/lezione/trapezio-formule-area-perimetro-isoscele-scaleno-rettangolo-trapezi-12730.html), giungeremmo a un sistema di due equazioni, (una per l'area, una per il perimetro) in tre incognite (le due basi e il lato obliquo). Introducendo invece la circonferenza, possiamo arrivare una relazione aggiuntiva che ci permette di risolvere il problema. La circonferenza, essendo inscritta nel poligono, è tangente a tutti i lati, come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/circonferenza-poligoni-inscritti-circoscritti-quadrilateri-triangoli-geometria-euclidea-12885.html. Permettimi di chiamare $M_B$ il punto di tangenza sulla base maggiore, $M_b$ quello sulla base minore, e $K$ quello su di un lato obliquo; inoltre siano $b$ la base minore e $B$ quella maggiore, ed $l$ i lati obliqui. Se chiamiamo $P$ uno degli estremi della base minore, ci accorgiamo che i segmenti $PM_b$ e $PK$ sono segmenti di tangenza alla circonferenza inscritta: per il teorema delle tangenti, che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/teorema-delle-tangenti-cerchio-circonferenza-secante-tangente-12874.html, $PM_b \cong PK$. Allo stesso modo, prendendo un vertice della base maggiore, che chiamo $Q$, si può dimostrare che $QM_B \cong QK$. Ma ora, $PK + QK = l$, mentre $PM_b = \ ^b/_2$ e $QM_B = \ ^B/_2$ (questo deriva dal fatto che il trapezio isoscele ha un asse di simmetria che passa per i punti medi delle basi, e il centro della circonferenza deve essere su quest'asse), da cui deduciamo che $l = \frac{b+B}{2}$, cioè che$$2l = b + B$$Ora tutte le equazioni sono più semplici: sostituiamo la precedente nelle equazioni di area e perimetro:$$ \begin{cases} b + B +2l = 100 \\ \frac{b+B}{2} \sqrt{(2l)^2 - (B-b)^2} = 600 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} 2(b+B) = 100 \\ \frac{b+B}{2}\sqrt{(B+b)^2 - (B-b)^2} = 600\end{cases}$$Con un po' di pazienza sono arrivato alla soluzione $b = 25 - \sqrt{481}$, $B= 25 + \sqrt{481}$, e ovviamente $l = 25$. Fammi sapere se viene anche a te questo risultato! Ciao e buona giornata :3