I Poliedri

Ciao Giuseppe! Allora, ti rimando subito a un po' di formule che ci saranno utili per le piramidi: https://library.weschool.com/lezione/piramide-formule-apotema-volume-tronco-di-piramide-formulario-geometria-solida-13241.html. Iniziamo col calcolare l'area laterale della piramide: ovviamente vale$$ \text{Area}_{\text{laterale}} = \text{Area}_{\text{totale}} - \text{Area}_{\text{base}}$$Quindi dobbiamo calcolare l'area di base (che ci sarà utile anche in seguito). Qui https://library.weschool.com/lezione/formule-triangolo-isoscele-inscritto-in-una-circonferenza-perimetro-area-12656.html possiamo trovare una formula che esprime l'area di un triangolo isoscele in funzione dei soli lati. La base $b$ "supera ciascuno dei lati congruenti di 3", e quindi, se $l$ è la misura di un lato, abbiamo $b = l +3$. Da questo ricaviamo che il perimetro si calcola così:$$ 2p = l +l +b = 2l + (l+3) = 3l +3 = 3 \cdot (l+1)$$Sappiamo che il perimetro misura $48$, quindi $l$ soddisfa all'equazione$$ 3 \cdot (l+1) = 48 \ \Rightarrow \ l+1 = 16 \ \Rightarrow \ l = 15$$Da cui deduciamo anche che $b = 18$. Poi usiamo la formula, valida per i triangoli isosceli$$\text{Area}_{\text{base}} = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{l^2 - \frac{b^2}{4}}$$Sostituendo i valori trovati otteniamo $\text{Area}_{\text{base}} = 108$, da cui possiamo trovare l'area laterale. Ora l'altezza. L'altezza della piramide $h$ rientra assieme all'apotema $a$ e al raggio $r$ della circonferenza iscritta nella base (è una piramide retta!) nella formula $ a = \sqrt{h^2 + r^2}$ (si tratta del teorema di Pitagora). Sappiamo che $r = \frac{2 \text{Area}_{\text{base}}}{2p}$ e che $\text{Area}_{\text{laterale}} = \frac{2p \ a}{2}$, dunque $a = \frac{2 \text{Area}_{\text{laterale}}}{2p}$, quindi possiamo ottenere la misura dell'altezza (con un po' di algebra...) mediante la formula$$ a = \sqrt{h^2 + r^2} \ \Rightarrow \ h = \sqrt{a^2 - r^2} \ \Rightarrow \ h = \sqrt{\left( \frac{2 \text{Area}_{\text{laterale}}}{2p}\right)^2 - \left( \frac{2 \text{Area}_{\text{base}}}{2p} \right)^2}$$Sostituendo tutti i valori noti, arriviamo al risultato! Spero che sia tutto chiaro: se non ti tornano i conti, chiedi pure. Ciao e buona giornata!

grazie - Giuseppe D'Errico 18 Maggio 2016