integrali indefiniti
scusate non riesco a risolvere questo integrale: intergrale di ln(1+x^2)dx ho provato per parti ma non mi torna :/
il 27 Aprile 2016, da Gilda Menichini
Ciao Gilda! Se applichi la regola dell'integrazione per parti, sei sulla buona strada! Come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/integrazione-per-parti-7600.html, si può usare la formula $ \int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx$. Applicando questa formula al tuo caso, otteniamo $$ \int \ln\left(1+x^2\right)dx = x \ln (1+x^2) - 2 \int \frac{x^2}{1+x^2} dx $$E ora abbiamo l'integrale di una funzione razionale. Basta armarsi di santa pazienza e seguire la procedura che illustriamo qui https://library.weschool.com/lezione/integrale-di-funzioni-razionali-fratte-caso-del-denominatore-come-prodotto-7602.html. Innanzitutto scriviamo $ \frac{x^2}{1+x^2} = 1 + \frac{-1}{1+x^2} $ (che otteniamo facendo la divisione tra i due polinomi, dato che il grado del numeratore è maggiore o uguale il grado del denominatore) e il nostro integrale si trasforma in qualcosa di molto più abbordabile: $$ \dots = x \ln (1+x^2) - 2 \int 1 - \frac{1}{1+x^2} dx $$Riconosciamo la derivata dell'arcotangente: possiamo usare le primitive elementari (che elenchiamo qui https://library.weschool.com/lezione/integrali-delle-funzioni-elementari-tabella-riassuntiva-7507.html) per raggiungere il risultato: il tuo integrale è pari a $ x \ln (1+x^2) - 2x + 2 \arctan(x) $. Fammi sapere se i conti tornano! Ciao e buona giornata :3