lA PARABOLA
Data l'equazione y=ax^2 +bx + c, il cui asse di simmetria è x=3, determina i coefficienti a,b e c in modo che la parabola passi per A(-1;-4) e sia tangente alla retta di equazione 4x -4y +37. Ho impostato le tre condizioni: una per il punto; una per l'asse e la terza condizione di tangenza ma non viene il risultato.
il 01 Agosto 2015, da Dario Fonte
Ciao Dario! Visto che i calcoli non ti tornano, ti dico cosa ho fatto io e che risultato mi è venuto, in modo che tu possa confrontare con quelli che hai a disposizione tu. In ogni caso ti assicuro che quello che è venuto a me è giusto, dato che ho controllato con una calcolatrice grafica! :D Ecco il procedimento. Utilizzando le formule relative alla parabola ( https://library.weschool.com/lezione/parabola-formule-vertice-direttrice-asse-fuoco-geometria-analitica-13182.html ), le prime due condizioni sono equivalenti a queste: $$\begin{cases} - \frac{b}{2a} = 3 \\ -4 = a - b + c \end{cases}$$Risistemandole un momento possiamo ottenere un’espressione per $b$ e $c$ in funzione di $a$: $$\begin{cases} b = -6a \\ c = -4 - 7a \end{cases}$$In questo modo possiamo riscrivere l’equazione della parabola in modo più agevole: $$y = ax^2 - 6ax - 4 - 7a$$Per ricavare $a$ dobbiamo imporre l’ultima condizione, e cioè la tangenza alla retta $4x - 4y + 37 = 0$. Per farlo, scriviamo il sistema tra la retta (scritta in forma esplicita) e la parabola: $$\begin{cases} y = x + \frac{37}{4} \\ y = ax^2 - 6ax - 4 - 7a \end{cases}$$Questo sistema è di secondo grado ( https://library.weschool.com/lezione/coniche-sistemi-secondo-grado-retta-interpretazione-geometrica-14743.html ) e quindi ha un’equazione risolvente di secondo grado: per imporre la condizione di tangenza dobbiamo fare sì che il delta di questa equazione sia zero. Dopo un po’ di conti l’equazione che ottengo è la seguente: $$64a^2 + 65a + 1 = 0$$che ha due soluzioni distinte: $$a = -1 \qquad \vee \qquad a = -\frac{1}{64}$$Per ciascuno di questi valori per $a$ otteniamo una parabola, che soddisfa le richieste del problema: chiamiamole $\gamma_1$ e $\gamma_2$. Ecco qui le loro equazioni: $$\gamma_1 : y = -x^2+6x+3 \qquad \gamma_2: y = -\frac{1}{64}x^2 + \frac{3}{32}x - \frac{249}{64}$$Ecco fatto! Che ne pensi? Fammi sapere, io sono qui per ogni tua domanda :) ciao!