L'accelerazione centripeta

Ciao Federico! La domanda che mi fai è abbastanza interessante. In effetti ci sono diversi modi di dimostrare questa relazione, ma credo che tutte le dimostrazioni che puoi trovare sui libri di Fisica utilizzino approssimazioni: tutte più che ragionevoli, per carità, ma che non forniscono una dimostrazione rigorosa di questo fatto. Il problema è questo: mostrare nel dettaglio la validità della formula prevede dimestichezza con i vettori e l’utilizzo del concetto di $\text{derivata}$ (introdotto in questo video: https://library.weschool.com/lezione/definizione-matematica-di-derivata-rappresentare-sul-piano-9321.html) che non tutti gli studenti che affrontano il moto circolare uniforme padroneggiano (dato che il moto circolare uniforme viene spiegato in terza superiore, mentre le derivate vengono invece spiegate in quinta). Da qui in poi ti fornirò una dimostrazione in cui, tra le altre cose, supporremo che si sappia cosa sia una derivata: se non riuscirai a orientarti tra i vari conti, non preoccuparti e fammelo sapere, e cercherò di spiegarti la formula in un altro modo :) Veniamo a noi. Innanzitutto supponiamo che la traiettoria del moto circolare uniforme sia una circonferenza di raggio $r$ centrata nell’origine degli assi; possiamo farlo, a meno di spostare gli assi cartesiani adeguatamente. Possiamo descrivere le coordinate di un punto della circonferenza con un vettore $\vec{P}$, determinato utilizzando le coordinate polari ( https://library.weschool.com/lezione/sistema-di-coordinate-polari-spirale-di-archimede-geometria-analitica-13404.html ) e quindi scrivendolo in funzione del raggio $r$ e di un angolo $\alpha$: $$\vec{P} : \left ( \begin{matrix} P_x \\ P_y \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} r \cos \alpha \\ r \sin \alpha \end{matrix} \right )$$In sostanza, al variare di $\alpha$ le equazioni precedenti descrivono ascissa e ordinata del punto della circonferenza. Ma come varia $\alpha$? Dato che il moto è circolare uniforme, $\alpha$ varia linearmente rispetto al tempo: in altre parole, significa che vale la relazione $\alpha = \omega \cdot t$ dove $\omega$ è un certo valore costante (la cosiddetta “velocità angolare”). Questo significa che possiamo riscrivere le nostre equazioni in questo modo: $$\vec{P} : \left ( \begin{matrix} P_x(t) \\ P_y(t) \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} r \cos (\omega t) \\ r \sin (\omega t) \end{matrix} \right )$$Come mai abbiamo fatto tutto questo? Semplicemente perché ci serviva un’espressione della posizione del punto della circonferenza in funzione del tempo $t$; a partire da questa espressione possiamo ricavare sia la velocità che l’accelerazione del nostro punto, utilizzando il concetto di derivata. Infatti, derivare una certa quantità rispetto al tempo significa determinare una formula che descrive quanto velocemente questa quantità sta variando: di conseguenza, le derivate delle espressioni della posizione del punto daranno espressioni per la velocità del punto, mentre derivare le formule della velocità fornirà formule per l’accelerazione del punto. Dopo aver fatto questa osservazione chiave, possiamo procedere a fare un po’ di conti. Le componenti della velocità sono ottenute derivando ciascuna componente del vettore posizione: $$\vec{v} : \left ( \begin{matrix} P’_x(t) \\ P_y’(t) \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} -r \omega \sin (\omega t) \\ r \omega \cos (\omega t) \end{matrix} \right )$$Allo stesso modo otteniamo le componenti dell’accelerazione: $$\vec{a} : \left ( \begin{matrix} v’_x(t) \\ v_y’(t) \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} -r \omega^2 \cos (\omega t) \\ -r \omega^2 \sin (\omega t) \end{matrix} \right )$$Finalmente abbiamo tutti gli ingredienti per dimostrare quello che vogliamo. La formula $a = \frac{v^2}{r}$ mette in relazione i moduli di accelerazione e velocità, e quindi dobbiamo scoprire quanto valgono $a$ e $v$, cioè le lunghezze di $\vec{a}$ e $\vec{v}$ rispettivamente. Possiamo pensare a un vettore come a un segmento che ha un estremo nell’origine e l’altro nel punto di coordinate descritte dalle componenti del vettore stesso: la lunghezza del vettore è quindi data dalla formula della distanza tra due punti ( https://library.weschool.com/lezione/come-calcolare-distanza-tra-due-punti-formula-e-spiegazione-4454.html ). Otteniamo cioè: ##KATEX##\begin{aligned} v & = \sqrt{\left ( -r \omega \sin(\omega t) \right )^2 + \left ( r \omega \cos(\omega t) \right )^2} = \sqrt{\omega^2 r^2 \left ( \sin^2 (\omega t) + \cos^2 (\omega t) \right )} = \omega r \\ a & = \sqrt{\left ( -r \omega^2 \cos(\omega t) \right )^2 + \left ( -r \omega^2 \sin(\omega t) \right )^2} = \sqrt{\omega^4 r^2 \left ( \cos^2 (\omega t) + \sin^2 (\omega t) \right )} = \omega^2 r \end{aligned}##KATEX##A questo punto la relazione è dimostrata dato che $$a = r \omega^2 = \frac{r^2 \omega^2}{r} = \frac{v^2}{r}$$Ecco, diciamo che il discorso non è semplicissimo: spero che sia chiaro, almeno come impostazione! Ripeto, comunque: se hai problemi a capire fammelo sapere, sono a tua disposizione. Buona giornata!

Grazie mille, sei stato chiarissimo! - Federico Marotta 05 Agosto 2015

Perchè la derivata dell'argomento (ωt) del seno e coseno è solamente ω? - Antonio Commisso 02 Luglio 2016