Limite

Ciao Melania! Allora, per prima cosa riscrivo in "bella grafia" il tuo limite, così vediamo se siamo sulla stessa lunghezza d'onda:$$ \lim_{x \to 1^{\pm}} 4 \frac{1-x^{\frac{1}{2}}}{x^2 -1} $$Allora, possiamo risolvere questo limite in tanti modi. Te ne propongo due. Ma innanzitutto notiamo che la funzione $h(x) = 4 \frac{1-x^{\frac{1}{2}}}{x^2 -1}$ non è definita in $x=1$, quindi non possiamo risolvere questo limite semplicemente sostituendo "$1$" nell'espressione di $h(x)$! Siamo di fronte ad una forma di indecisione: per un riassunto completo dell'argomento, guarda qua https://library.weschool.com/lezione/limiti-notevoli-dimostrazioni-5918.html. Ad ogni modo, il primo metodo sfrutta il teorema di de l'Hôpital: lo enunciamo qui https://library.weschool.com/lezione/descrivere-teorema-de-l-hopital-risolvere-esercizi-geometria-9655.html. Possiamo applicare questo teorema perché le sue ipotesi sono tutte soddisfatte: il teorema è molto potente, ma va usato con discrezione; ricordati sempre di controllare le ipotesi. Il risultato cui giungiamo con questo metodo è il seguente:$$ \lim_{x \to 1^{\pm}} 4 \frac{1-x^{\frac{1}{2}}}{x^2 -1} = \lim_{x \to 1^{\pm}} 4 \frac{\left( 1-x^{\frac{1}{2}} \right)'}{\left( x^2 -1 \right)'} = \lim_{x \to 1^{\pm}} 4 \frac{-\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}}{2 x } = \dots = -1$$In questo calcolo abbiamo usato le regole di derivazione elementari che puoi trovare riassunte qui https://library.weschool.com/lezione/formule-per-calcolare-la-derivata-potenza-radice-funzione-costante-9322.html. Ad ogni modo, nello svolgere i conti, non è importante se ci avviciniamo a $1$ da destra o da sinistra: il risultato è univoco. Un secondo metodo potrebbe essere invece quello di effettuare una sostituzione: poniamo $t = x^{\frac{1}{2}}$ e riscriviamo l'espressione di $h$, questa volta in $t$: otteniamo $4 \frac{1-t}{t^4 -1}$. Ora possiamo usare un paio di volte il prodotto notevole "somma per differenza" (se non te lo ricordi, guarda qui https://library.weschool.com/lezione/prodotti-notevoli-somma-differenza-cubi-cubo-binomio-quadrato-trinomio-3197.html) per ricondurci a questa epsressione: $4 \frac{1-t}{(t^2 +1)(t-1)(t+1)}$, la quale si semplifica in $4 \frac{-1}{(t^2 +1)(t+1)}$. Osserviamo inoltre che, se $x \to 1$, allora necessariamente $t \to 1$: ora questa espressione è definita in $t=1$! Sostituendo il valore otteniamo$$ \lim_{t \to 1} 4 \frac{-1}{(t^2 +1)(t+1)} = 4 \frac{-1}{4} = -1$$Spero che sia tutto chiaro! Se hai altri dubbi, chiedi pure :D Ciao e buona serata.