logaritmi

Salve Caterina! Innanzitutto permettimi di riportare il testo della tua domanda: per un piccolo inconveniente tecnico con i segni di disuguaglianza, ne è sparita una parte :3 $$ $$ "Salve! il testo dell' esercizio mi chiede semplicemente di calcolare il $$ \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x^2 }{ 4-3x} \right) > 0 $$Dando già uno sguardo capisco che la base è compresa tra $0$ e $1$ e ciò implica un cambiamento del verso del segno poiché la funzione è decrescente, ma questo cambiamento quando devo farlo? Inizialmente determino il campo di esistenza ( $x > 0$ e $x < \frac{4}{3}$)... come procedo?" $$ $$ Allora. La prima cosa da fare quando ci si trova davanti ad un'espressione con delle variabili è stabilirne il campo di esistenza: in questo caso, l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di $0$; occorre quindi risolvere la disequazione fratta $$ \frac{x^2 }{ 4-3x} > 0$$ Ti consiglio di guardarti questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-fratte-secondo-primo-grado-frazionario-esercizi-svolti-13201.html; a me il campo di esistenza risulta essere $ x < \frac{4}{3}$ con $x \neq 0$. Ad ogni modo, cambiare il verso di una disequazione avviene quando si applica una funzione monotòna decrescente ad entrambi i membri della disequazione. Il logaritmo con base compresa tra $0$ e $1$, o porre ad esponente di una base compresa tra $0$ e $1$, sono entrambe situazioni in cui occorre cambiare di segno alla disequazione. La tua espressione è del tipo $\log_{a} \left( \dots \right) < \dots$; per "togliere" il logaritmo, occorre elevare la base $a$ ai termini della disequazione: dato che, nel nostro caso, $a = \frac{1}{2}$, la disequazione cambia di verso: si arriva per tanto a $a^{\log_{a} \left( \dots \right)} > a^{\dots}$, che, per definizione di logaritmo, diventa $\dots > a^{\dots} $. Per la definizione di logaritmo ti rimanderei a questo video https://library.weschool.com/lezione/come-descrivere-studiare-funzione-base-argomento-del-logaritmo-9371.html, mentre per risolvere le disequazioni logaritmiche in genere ti rimando a quest'altro video: https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-logaritmiche-logaritmi-esercizi-svolti-esempi-9375.html. Per inciso, la soluzione che a me risulta è $x < -4$ oppure $1 < x < \frac{4}{3}$, che non dà problemi quando intersecata con le condizioni di esistenza: è proprio la soluzione! Fammi sapere se torna anche a te :3 Ciao e buona giornata.