Matematica, Fasci di rette
Determina la retta comune ai fasci di rette di equazioni: (k+2)x-ky-1=0 ; x-hy-h=0 Soluzione(y=3x-1)
il 05 Ottobre 2016, da Giacomo Marini
Ciao Giacomo! I due fasci di rette che presenti danno l'equazione della retta in forma implicita. Due rette, scritte in forma implicita (che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/equazione-della-retta-forma-implicita-e-forma-esplicita-4461.html), sono la stessa retta se (e solo se) i coefficienti di $x$, $y$ ed il termine noto sono tra loro proporzionali. Il primo fascio di rette ha coefficienti $k+2$ per la $x$, $-k$ per la $y$ ed ha termine noto $-1$, mentre il secondo ha $1$, $-h$ e $-h$ rispettivamente. Quindi la stessa retta compare in entrambi i fasci se questi cefficienti sono proporzionali, ossia se le seguenti equazioni hanno soluzione$$ k+2 : 1 = -k : -h = -1 : -h \ \Rightarrow \ \begin{cases} \dfrac{k+2}{1} = \dfrac{-k}{-h} \\ \dfrac{-k}{-h} = \dfrac{-1}{-h} \end{cases} $$Il secondo è un sistema di due equazioni a due incognite (che si può risolvece come indichiamo qui https://library.weschool.com/lezione/sistemi-di-equazioni-sistema-lineare-esercizi-svolti-metodo-sostituzione-riduzione-sistemi-15145.html), ma si vede facilmente (dalla seconda equazione) che $k = 1$, e di conseguenza, sostituendo nella prima equazione, $h = \ ^1 /_3$: questi valori dei parametri, sostituiti nel fascio corrispondente, ci danno la retta cercata! Spero sia tutto chiaro :D Ciao e buona giornata.