mcd fra polinomi
Qual è il mcd fra x+5 e x+3?
il 14 Luglio 2015, da Attilio Trabucco
Ciao Attilio. L’MCD di due polinomi è il polinomio di grado massimo che può dividere entrambi i polinomi in modo che ci sia resto zero (ecco una lezione sulla divisione tra polinomi: https://library.weschool.com/lezione/divisione-tra-polinomi-esercizi-svolti-3200.html). Nel nostro caso, entrambi i polinomi hanno grado $1$ e quindi l’MCD deve avere necessariamente grado minore di $1$, cioè $1$ oppure $0$: se il grado è $1$ allora sarà della forma $ax+b$ con $a, b$ numeri reali, mentre se il grado è $0$ l’MCD si riduce a essere semplicemente un numero. Si vede abbastanza facilmente che l’unico polinomio di primo grado che può dividere $x+5$ in modo che il resto sia zero è proprio $x+5$ stesso, ma la divisione di $x+3$ per $x+5$ non ha resto zero; allo stesso modo si vede che $x+3$ non va bene come MCD, e quindi deduciamo che in questo caso l’MCD deve essere per forza un numero. Ma l’unico numero che divide entrambi i polinomi è $1$: in conclusione $$MCD(x+3, x+5) = 1$$Se invece cercavi l’mcm dei due polinomi (procedura molto più comune, per esempio quando si cerca il denominatore comune in un’espressione frazionaria) l’unica cosa che devi fare è moltiplicare i polinomi fra loro: $$mcm(x+3, x+5) = (x+3)(x+5) = x^2 + 8x + 15$$Infatti l’mcm di due polinomi è costituito dal prodotto dei fattori primi dei polinomi elevati alla massima potenza con cui compaiono nelle scomposizioni: in questo caso questo conto è facile da svolgere, dato che $x+3$ ha sé stesso come unico fattore nella sua scomposizione (e lo stesso accade per $x+5$). Forse può esserti utile ripassare il concetto di mcm e MCD applicato ai monomi (il procedimento è concettualmente lo stesso, anche se i protagonisti sono diversi): https://library.weschool.com/lezione/massimo-comune-divisore-e-minimo-comune-multiplo-di-monomi-come-calcolarli-3196.html. Se hai altre domande, fammi sapere :)