Numeri interi relativi
Potete aiutarmi a dimostrare questo esercizio: "Provare che per ogni a,b € Z (-a) * b = -(a-b) e (-a)(-b)=ab"?
il 28 Agosto 2015, da Andrea Manisi
Ciao Andrea. Si potrebbe rispondere "la regola dei segni", ma noi vogliamo fare le cose per bene :3 Dimostreremo le due uguaglianze là sopra riportate usando solo le proprietà delle operazioni ( https://library.weschool.com/lezione/distributiva-proprieta-moltiplicazione-divisione-definizione-14954.html ), la proprietà invariantiva ( https://library.weschool.com/lezione/proprieta-invariantiva-divisione-sottrazione-proprieta-operazioni-14880.html ) e la definizione di opposto di un numero ( https://library.weschool.com/lezione/proprieta-addizione-moltiplicazione-sottrazione-divisione-legge-di-annullamento-del-prodotto-15062.html ). Ci serve innanzitutto sapere che $0 \cdot a=0 \ \forall a \in \mathbb{Z}$, il che si può fare in maniera abbastanza semplice: prendiamo un elemento $b \in \mathbb{Z}$ qualsiasi, e scriviamo $0 \cdot a + b \cdot a = (0 + b) \cdot a = b \cdot a$; prendendo in considerazione il primo e l'ultimo membro, abbiamo che $0 \cdot a + b \cdot a = b \cdot a$; per la generalità di $b$, questa uguaglianza vale sempre, e quindi $0 \cdot a$ deve essere $0$ (per la definizione di $0$). Stabilito questo, partiamo con la prima: $$ (-a) \cdot b = -(a\cdot b)$$Dobbiamo provare che $(-a) \cdot b$ è l'opposto di $a \cdot b$. La cosa migliore da fare è provare a sommare $(-a) \cdot b$ ad $a \cdot b$ e vedere che cosa succede. $ (-a)\cdot b + a\cdot b = (-a +a) \cdot b $ (per la proprietà distributiva) $ = 0 \cdot b$ (per la definizione di opposto di $a$) $=0$ per quanto detto in precedenza. L'unico elemento $x$ tale per cui $x + a \cdot b = 0$ è l'opposto di $a \cdot b$, cioè proprio $- (a \cdot b)$: abbiamo dunque provato che $(-a) \cdot b = -(a\cdot b)$. Per svolgere la seconda, possiamo procede usando due volte la prima uguaglianza, e ricordando che la moltiplicazione in $\mathbb{Z}$ è commutativa: otteniamo la catena di disuguaglianze $(-a) \cdot (-b)$ $= - (a \cdot (-b))$ $= - ((-b) \cdot a)$ $= - ( - (b \cdot a ))$ $= - ( - (a \cdot b))$ $= a \cdot b$, in cui abbiamo sfruttato il fatto che $ - (- x) =x \ \forall x \in \mathbb{Z}$ (che potresti dimostrare...). Spero sia tutto chiaro!