Parabola

Determina l'equazione della parabola y=ax^2 + bx +c passante per il punto A(0;1) e tangente a entrambe le rette di equazioni y= -4x e 4x + 4y -3 = 0


il 31 Luglio 2015, da Dario Fonte

Giovanni Barazzetta il 31 Luglio 2015 ha risposto:

Ciao Dario :D Dunque, riguardo alla parabola in generale, qui trovi un contenuto a livello teorico alquanto completo https://library.weschool.com/lezione/parabola-formule-vertice-direttrice-asse-fuoco-geometria-analitica-13182.html, mentre un po' sparsi per il sito c'è una pletora di esercizi svolti: metto in evidenza questo https://library.weschool.com/lezione/come-calcolare-equazione-parabola-tangente-esercizi-svolti-matematica-9467.html e questo https://library.weschool.com/lezione/calcolare-rette-tangenti-parabola-punto-interno-esterno-intersezioni-9466.html, dove si parla un po' delle rette tangenti alla parabola. Veniamo a noi: l'esercizio non è complicato, ma richiede un po' di conti. Ricordiamo che il nostro obiettivo è di ricavare i coefficienti aa, bb e cc. Per fare questo, dobbiamo imporre tre condizioni: una sarà il passaggio per il punto A(0;1)A \equiv (0;1), e le due successive saranno il fatto che la retta r:y=4xr: y = -4x e la retta s:4x+4y3=0s: 4x +4y -3 =0 siano tangenti alla parabola. Dalla prima condizione ottenniamo che c=1c=1: restano da determinare aa e bb. Mettiamo a sistema l'equazione di rr e della parabola per poi imporre la condizione di tangenza:{y=ax2+bx+1y=4x  ax2+(b+4)x+1=0  b2+8b+164a=0 \begin{cases} y=ax^2 + bx +1 \\ y=-4x\end{cases} \ \Rightarrow \ ax^2 + (b+4) x +1 = 0 \ \Rightarrow \ b^2 + 8b +16 -4a = 0E questa la mettiamo in frigo. Imponiamo la tangenza con la retta ss e otteniamo{y=ax2+bx+14y+4x3=0  ax2+(b+1)x+14=0  b2+2b+1a=0\begin{cases} y=ax^2 + bx +1 \\ 4y+4x-3=0\end{cases} \ \Rightarrow \ ax^2 + (b+1) x +\frac{1}{4} = 0 \ \Rightarrow \ b^2 + 2b +1 -a = 0Adesso mettiamo a sistema le due equazioni trovate:{b2+8b+164a=0b2+2b+1a=0  {a=2b+5b24=0 \begin{cases} b^2 + 8b +16 -4a = 0 \\ b^2 + 2b +1 -a =0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} a = 2b+ 5 \\ b^2 -4 =0\end{cases}Eh. Come vedi, dalla seconda equazione ricaviamo b=±2b = \pm 2, che, sostituendo nella prima, produce a=9a = 9 e a=1a=1 rispettivamente. Abbiamo quindi due (22) parabole che soddisfano alle condizioni richieste: "la parabola" sono y=9x2+2x+1y = 9x^2 +2x +1 e y=x22x+1y = x^2 -2x +1! In effetti il risultato ha stupito anche me: devo ragionarci più a fondo. Grazie per lo spunto! Ah, fammi sapere se anche a te tornano i conti, io sono una frana :3


Ti ringrazio molto a presto. La soluzione era più semplice di quanto potessi pensare. - Dario Fonte 31 Luglio 2015