Parabola

Ciao Dario :D Dunque, riguardo alla parabola in generale, qui trovi un contenuto a livello teorico alquanto completo https://library.weschool.com/lezione/parabola-formule-vertice-direttrice-asse-fuoco-geometria-analitica-13182.html, mentre un po' sparsi per il sito c'è una pletora di esercizi svolti: metto in evidenza questo https://library.weschool.com/lezione/come-calcolare-equazione-parabola-tangente-esercizi-svolti-matematica-9467.html e questo https://library.weschool.com/lezione/calcolare-rette-tangenti-parabola-punto-interno-esterno-intersezioni-9466.html, dove si parla un po' delle rette tangenti alla parabola. Veniamo a noi: l'esercizio non è complicato, ma richiede un po' di conti. Ricordiamo che il nostro obiettivo è di ricavare i coefficienti $a$, $b$ e $c$. Per fare questo, dobbiamo imporre tre condizioni: una sarà il passaggio per il punto $A \equiv (0;1)$, e le due successive saranno il fatto che la retta $r: y = -4x$ e la retta $s: 4x +4y -3 =0$ siano tangenti alla parabola. Dalla prima condizione ottenniamo che $c=1$: restano da determinare $a$ e $b$. Mettiamo a sistema l'equazione di $r$ e della parabola per poi imporre la condizione di tangenza:$\begin{cases} y=ax^2 + bx +1 \\ y=-4x\end{cases} \ \Rightarrow \ ax^2 + (b+4) x +1 = 0 \ \Rightarrow \ b^2 + 8b +16 -4a = 0$E questa la mettiamo in frigo. Imponiamo la tangenza con la retta $s$ e otteniamo$\begin{cases} y=ax^2 + bx +1 \\ 4y+4x-3=0\end{cases} \ \Rightarrow \ ax^2 + (b+1) x +\frac{1}{4} = 0 \ \Rightarrow \ b^2 + 2b +1 -a = 0$Adesso mettiamo a sistema le due equazioni trovate:$\begin{cases} b^2 + 8b +16 -4a = 0 \\ b^2 + 2b +1 -a =0 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} a = 2b+ 5 \\ b^2 -4 =0\end{cases}$Eh. Come vedi, dalla seconda equazione ricaviamo $b = \pm 2$, che, sostituendo nella prima, produce $a = 9$ e $a=1$ rispettivamente. Abbiamo quindi due ($2$) parabole che soddisfano alle condizioni richieste: "la parabola" sono $y = 9x^2 +2x +1$ e $y = x^2 -2x +1$! In effetti il risultato ha stupito anche me: devo ragionarci più a fondo. Grazie per lo spunto! Ah, fammi sapere se anche a te tornano i conti, io sono una frana :3

Ti ringrazio molto a presto. La soluzione era più semplice di quanto potessi pensare. - Dario Fonte 31 Luglio 2015