Data una parabola ed una retta non parallela al suo asse, tale retta si dice tangente alla parabola se retta e parabola hanno in comune un unico punto.
Data una parabola e una retta, per capire se la retta sia o meno tangente alla parabola, andiamo a considerare i possibili punti di intersezione tra la parabola e la retta. Se la parabola ha asse parallelo all’asse delle ordinate e la retta non è a sua volta verticale, questo significa trovare le soluzioni del sistema di secondo grado$$ \begin{cases} y = mx + q \\ y = ax^2 + bx + c \end{cases}$$
Mediante semplici passaggi algebrici, si evince che questo sistema (con incognita $x$) ha zero, una o due possibili soluzioni a seconda che il $\Delta$ della equazione di secondo grado risolvente sia minore, uguale o maggiore di $0$. Abbiamo allora i tre casi:
- $\Delta < 0$, nessuna soluzione: la retta e la parabola sono sghembe.
- $\Delta = 0$, una sola soluzione: la retta è tangente alla parabola.
- $\Delta > 0$, due soluzioni distinte: la retta è secante la parabola.
Deduciamo quindi la condizione di tangenza $\Delta = 0$, ove per $\Delta$ si intende quello dell’equazione di secondo grado risolvente al sistema che si ottiene cercando le intersezioni tra retta e parabola.
Se invece ci viene fornito un punto $P \equiv (x_P; y_P)$, e si chiede quale o quali siano le rette tangenti alla parabola passanti per $P$, si deve porre a sistema l’equazione della parabola con l’equazione delle generica retta passante per $P$, il cosiddetto fascio proprio di rette: $$ \begin{cases} y - y_P = m(x - x_P) \\ y = ax^2 + bx + c \end{cases} $$
Ancora una volta, imponiamo la condizione che le rette passanti per $P$ siano tangenti: l’equazione risolvente sarà di secondo grado (in $x$), e imponiamo la condizione di tangenza $\Delta = 0$: questa è un’equazione (in $m$!) di secondo grado, e, come tale, può avere nessuna, una o due soluzioni:
- Nessuna soluzione: non ci sono tangenti passanti per $P$, il punto è interno alla parabola.
- Una sola soluzione: la tangente alla parabola passante per $P$ è una sola, che ha come coefficiente angolare proprio la soluzione trovata, ed il punto appartiene alla parabola.
- Due soluzioni distinte: le tangenti alla parabola passanti per $P$ sono due, le rette passanti per $P$ di coefficiente angolare pari alle soluzioni trovate, e il punto è esterno alla parabola.
Se l’approccio a questo problema sembra troppo astratto, si consiglia di svolgere qualche esercizio a riguardo.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math