QUESITO MATEMATICA EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Il moto rettilineo di un punto avviene in modo che, in ogni istante t (il tempo è misurato in secondi), la somma dei valori numerici della velocità istantanea x'(t) (in m/s) e dell'accelerazione istantanea x"(t) (in m/s^2) equivale al doppio della coordinata x(t) che rappresenta la posizione istantanea del punto. a. Ricava le possibili leggi orarie x(t). b. Ricava la posizione del punto all'istante t=0, sapendo che x'(0)=-2 e che lim di t che tende a +∞ di x(t)=0.
il 15 Maggio 2016, da Daria Ciotti
Ciao Daria! La consegna ci chiede, in pratica, di risolvere l'equazione$$ x' + x'' = 2x \ \Leftrightarrow \ x'' + x' - 2x = 0 $$Questa è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, lineare ed omogenea. Puoi trovare il metodo di risoluzione qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-omogenee-differenziali-secondo-ordine-equazione-caratteristica-problema-di-cauchy-16447.html. Nel nostro caso, l'equazione $z^2 + z - 2 = 0$ (i coefficienti sono gli stessi dell'equazione differenziale) ha due soluzioni reali distinte, $z = 1 \vee -2$, che si riflettono nelle soluzioni$$ x(t) = c_1 e^t + c_2e^{-2t}$$Qui, le costanti $c_1$ e $c_2$ (reali) non sono determinate, in quanto al punto $a$ ci vengono chieste "le possibili leggi orarie". Nel punto $b$, invece, si pongono dell condizioni che determinano una particolare coppia di valori $c_1$ e $c_2$. In particolare, dato che $x'(t) = c_1 e^t - 2 c_2 e^{-2 t }$ (il che si ottiene derivando una volta rispetto al tempo la soluzione generale), imporre che $x'(0) = -2$ equivale a chiedere che $-2 = c_1 -2 c_2$; mentre chiedere che $\lim_{t \to +\infty} x(t) = 0$ significa in realtà $\lim_{t \to +\infty} c_1 e^t + c_2e^{-2t} = 0$, il che può accadere se (e solo se) $c_1 = 0$: questo si deduce dal comportamento degli esponenziali all'infinito, come ricordiamo qui https://library.weschool.com/lezione/limiti-di-esponenziali-e-logaritmi-spiegazione-5916.html. In definitiva, da $c_1 = 0$ deduciamo anche, grazie alla prima condizione, che $c_2 = 1$: la soluzione cercata quindi è $x(t) = e^{-2t}$. Spero sia tutto chiaro: se hai ulteriori domande, chiedi pure! Ciao e buona giornata.
Grazie mille, chiarissimo e gentilissimo :) - Daria Ciotti 16 Giugno 2016