Significato fisico di derivata

Ciao Leti! Per scoprire la risposta al primo quesito, dobbiamo chiederci: che cosa vuol dire che il sasso "torna nel punto di lancio"? Notiamo che il testo ci fornisce una relazione tra la coordinata $s$ (erroneamente chiamata "distanza" - una distanza non può essere negativa!) e il tempo trascorso $t$: si chiama legge oraria, come spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/moto-di-un-punto-materiale-e-sistema-di-riferimento-6580.html. Se assumiamo (com'è logico) che il sasso venga lanciato all'istante $t = 0$, dalla legge scopriamo che esso si trova nella posizione $s(0) = 49 \cdot 0 - 4,9 \cdot (0)^2 = 0$: la domanda quindi diventa, quando il sasso torna ad occupare la posizione $s = 0$? Per scoprire la risposta basta risolvere proprio l'equazione $s = 0$, ossia$$ 49t - 4,9t^2 = 0$$Si tratta di un'equazione di secondo grado (qui trovi come risolverla https://library.weschool.com/lezione/risoluzione-equazione-secondo-grado-formula-risolutiva-ridotta-equazioni-algebra-12887.html). Il metodo di risoluzione è classico, ne puoi vedere altri esempi qui https://library.weschool.com/lezione/esercizi-svolti-sul-moto-di-caduta-libera-e-sul-moto-parabolico-6606.html. Un semplice calcolo porta alle soluzioni $t = 0 \vee 10 \text{ s}$, di cui ci interessa la seconda. Ora, il secondo quesito invece è più complicato - o meglio, più sottile. Se facessimo semplicemente la differenza tra la coordinata all'istante $t_1 = 0 \text{ s}$ e $t_2 = 10 \text{ s}$, avremmo una brutta sorpresa: infatti $s(t_1) = s(t_2)$, e dunque $s(t_1) - s(t_2) = 0$! La cosa non ci stupisce in realtà, perché se facessimo due foto, una nell'istante $t_1$ e una a $t_2$, il sasso apparirebbe nello stesso posto e dovremmo quindi concludere che questo non s'è mosso, quando invece ha compiuto un certo tragitto. Un paradosso che evidenziamo qui https://library.weschool.com/lezione/moto-rettilineo-e-moto-rettilineo-uniforme-formule-6602.html. Per fare un calcolo più accurato, dovremmo calcolare la lunghezza della traiettoria: un'impresa, in generale, non proprio semplice (si tratta di calcolare la lunghezza di una curva, operazione che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/integrali-curvilinei-integrale-curvilineo-lunghezza-di-una-curva-sostegno-retta-tangente-15523.html). Formalmente dovremmo quindi calcolare$$ \int_{t_1}^{t_2} || \vec{v} || \ dt$$Fortunatamente, possiamo usare la semplicità del problema ed accorgerci che il tragitto percorso dal sasso sino all'apice del suo "volo" è uguale a quello della caduta, calcolare uno dei due e quindi moltiplicare per 2 il risultato; e l'apice, per questioni di simmetria, è raggiunto a metà dell'intervallo $[t_1,t_2]$ (dopo tutto, è il vertice della parabola $y = 49x - 4,9x^2$...). Con questa serie di semplificazioni è abbastanza facile giungere al risultato da te riportato di $245 \text{ m}$. Spero sia tutto chiaro: se hai ulteriori domande, chiedi pure :3 Ciao e buona giornata!