Come usare le formule per problemi sul moto di caduta libera e il moto parabolico

Una pallina viene lanciata verso l’alto con una velocità iniziale pari a $15 \text{ m}/\text{s}$. Determina, trascurando la resistenza dell’aria, la sua altezza massima.
1. Impostiamo un sistema di riferimento monodimensionale in cui l’asse verticale sia orientato dal basso verso l’alto, con coordinata $s$, e tale per cui la posizione iniziale coincida con l’origine $\mathcal{O}$. Dato che possiamo ignorare l’attrito dell’aria, siamo in un caso di caduta libera.
2. Quando la pallina raggiunge l’altezza massima? Quando smette di salire e ricomincia a cadere. In quell’istante, la sua velocità passa da positiva (dal basso verso l’alto) a negativa (dall’alto verso il basso), e quindi la velocità deve essere nulla.
3. Per scoprire l’istante in cui la velocità è nulla, applichiamo la legge $v(t) = -g \cdot t + v_0$ e imponiamo che la velocità $v(t)$ sia $0$: risolvendo l’equazione così ottenuta (nell’incognita $t$) otterremo l’istante in cui la pallina raggiunge l’altezza massima. Sostituendo si ha $$ 0 = -9,8 \ t + 15 \Rightarrow t = \frac{-9,8}{-15} = 1,53 \text{ s}$$
4. Ora che abbiamo il tempo impiegato dalla pallina a raggiungere l’apice del suo moto, occorre calcolare l’altezza raggiunta: applichiamo allora la legge oraria del moto in caduta libera $$ s(t) = s_{0} + v_{0}\ t - \frac{1}{2} g t^{2} $$ sostituendovi $t=1,53$: $s(1,53) = 0 + 15\cdot(1,53) - \frac{9,8}{2} \cdot (1,53)$ $=22,9 - 11,5$ $=11,4 \text{ m}$
5. La pallina raggiunge dunque un’altezza massima di $11,4$ metri a partire dalla posizione dalla quale è stata lanciata, prima di cadere verso il basso.
Calcola la gittata di un proiettile lanciato con un angolo di $30^\circ$ rispetto all’orizzontale con velocità pari a $120 \text{ m}/\text{s}$.
1. La “gittata” di un proiettile corrisponde allo spazio percorso orizzontalmente. Ricordiamo che il moto parabolico si scompone in due moti, uno verticale uniformememnte accelerato, e uno orizzontale rettilineo uniforme. La distanza percorsa da lanciato con un angolo $\alpha$ rispetto all’orizzontale è la seguente: $$ x_g = \frac{2 v^2 \cos(\alpha) \ \sin(\alpha)}{g}$$
2. Sostituendo con i dati a nostra disposizione, $ x_g = \frac{2 \cdot 120^2 \cdot 0,87 \cdot 0,5}{9,8} = 1278,4 \text{ m}$, circa $1,28 \text{ km}$
Quanto tempo impiega un pallone che è lanciato con velocità di $15 \text{ m}/\text{s}$ con un angolo di $60^\circ$ a raggiungere un’altezza pari a $6,9 \text{ m}$?
1. Il moto in direzione verticale, trascurando l’attrito dell’aria, è un moto uniformemente accelerato, soggetto all’accelerazione di gravità costante $g$. Se impostiamo il verso dell’asse verticale dal basso verso l’alto, e indichiamo con $y(t)$ l’altezza $y$ raggiunta dal pallone nell’istante $t$, la legge oraria del moto di caduta libera impone che $$ y = v_{0y} \cdot t - \frac{1}{2}g \cdot t^2 $$ dove $v_{0y}$ è la componente verticale della velocità.
2. Questa si ottiene con le formule trigonometriche $$ v_{0y} = |\vec{v}_0| \sin{\alpha}$$
  
  Videolezione "Studio di funzione: il procedimento"
3. A questo punto sostituiamo i dati che possediamo: $\alpha = 60^{\circ}$ e $| \vec{v}_0 | = 15 \text{ m}/\text{s}$, $y(t) = 6,9 \text{ m}/\text{s}$, il che ci fa giungere all’equazione $$ 6,9 = 15 \cdot 0,87 \cdot t - 4,9\cdot t^2 $$ in cui l’incognita $t$ rappresenta l’istante in cui la palla raggiungerà l’altezza di $6,9 \text{ m}$.
4. Per risolvere l’equazione, di secondo grado in $t$, utilizziamo la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado $$ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ e sostituendo otteniamo $$ t_{1,2} = \frac{+13,05 \pm \sqrt{13,05^2 - 4 \cdot 6,69 \cdot 4,9}}{9,8} = \frac{13,05 \pm \sqrt{170,30 - 131,12}}{9,8} = \frac{13,05 \pm 6,26}{9,8} $$
5. Otteniamo due soluzioni: $\frac{13,05 - 6,26}{9,8} = 1,97 \text{ s}$ e $\frac{13,05 + 6,26}{9,8} = 0,69 \text{ s}$. Questo sta ad indicare, tra le altre cose, che il pallone raggiunge l’altezza di $6,9$ $m$ due volte: una salendo, l’altra cadendo.

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