sistema di disequazioni e disequazione esponenziale

Ciao Anna! Innanzitutto lascia che riscriva i tuoi esercizi, di modo che li possano leggere tutti:$$ 1) \begin{cases} \displaystyle{ \frac{x}{x^2 - x} < \frac{x^2 - x + 1 }{x^2 - x} }\\ \displaystyle{ \frac{ (x-2)(x^2 -3x +2)}{x^4 + x^3 -x + 1} \leq 0} \end{cases} \quad 2) \ \ 7^x - 6 > 7^{1 - x}$$Partirei dalla seconda: innanzitutto, ti consiglio di seguire questa lezione https://library.weschool.com/lezione/studiare-risolvere-disequazioni-esponenziali-con-esercizi-svolti-9370.html; io incomincerei con il moltiplicare ambo i membri per $7^x$ (che non altera il segno della disequazione, in quanto $7^x > 0$ sempre), e poi porterei tutto al primo membro, che ci porta a $7^{2x} - 6 \cdot 7^x - 7 < 0$; la sostituzione $7^x = t$ ci porta alla disequazione di secondo grado $t^2 - 6t - 7 < 0$, che ha per soluzione (segui questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/risolvere-disequazioni-secondo-grado-intere-tabella-delta-12960.html) $t >7$ oppure $t < -1$; tornando a $7^x$, abbiamo due disequazioni facili da risolvere: $7^x > 7$ ha soluzione $x > 1$, mentre $7^x < -1$ è impossibile in quanto un'esponenziale non può mai essere negativo. Per quanto riguarda il primo sistema, posso dirti che occorre seguire il procedimento generale per la risoluzione di un sistema, che ricordiamo qui https://library.weschool.com/lezione/sistemi-di-disequazioni-esercizi-sistema-di-disequazioni-algebra-13309.html. Nella prima disequazione porta tutto al primo membro e risolvila come disequazione fratta (che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-fratte-secondo-primo-grado-frazionario-esercizi-svolti-13201.html): mi raccomando non moltiplicare per $x^2 - x$, perché siamo in una disequazione e moltiplicare per un valore incognito potrebbe alterare il verso della disequazione a nostra insaputa! Per la seconda disequazione, si può scomporre il numeratore (con un po' di algebra) in $(x-2)^2(x-1)$; per quanto riguarda il denominatore, esso è di quarto grado e non ha radici (il che potrebbe essere un po' difficile da provare). Siccome per $x=0$ (che è $ < 1$) la frazione assume un valore negativo, dobbiamo dedurre che per tutti i valori di $x < 1$ il suo segno sarà negativo; di conseguenza avrà valore positivo tra $1$ e $2$ e dopo $2$, mentre vale $0$ per $x =1$ o $ x = 2$. Tutto questo deriva da un importante teorema, detto della permanenza del segno, che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/teorema-del-confronto-due-carabinieri-unicita-limite-permanenza-del-segno-14342.html. Intersecando le soluzioni della prima e della seconda disequazione, a me la soluzione del sistema risulta $ 0 < x < 1$: dimmi se c'ho azzeccato! Ciao e buona giornata.