studio del fascio di circonferenze

Ciao Alaeddine! La domanda che poni è un po' generica: "studiare" un fascio di circonferenze può voler dire tante cose. In generale, posso dirti questo: date due circonferenze $\Gamma_1$ e $\Gamma_2$, consideriamo le equazioni che le rappresentano nel piano cartesiano. Come spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/geometria-circonferenza-raggio-diametro-coordinate-centro-cerchio-formula-equazione-6958.html, saranno nella forma $x^2 + y ^2 + a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$ per $\Gamma_1$ e $x^2 + y ^2 + a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ per $\Gamma_2$. Adesso prendiamo un parametro reale $k$, e diciamo che, al variare di questo parametro, abbiamo un po' di circonferenze descritte da$$ k \left(x^2 + y ^2 + a_1 x + b_1 y + c_1\right) + \left(x^2 + y ^2 + a_2 x + b_2 y + c_2\right) = 0$$Questo "po' di circonferenze" prende il nome di fascio di circonferenze. In linea di principio, possono accadere quattro casi, che si distinguono in base a quanti punti in comune hanno tutte le circonferenze del fascio: questi punti sono detti punti base. Se ci sono due punti base, il fascio è costituito da circonferenze a due a due secanti tra loro nei due punti base; i centri giacciono tutti su una stessa retta. Se c'è un solo punto base, le circonferenze sono a due a due tangenti tra loro (e il punto di tangenza è sempre lo stesso, il punto base) e tangenti ad una stessa retta; anche in questo caso i centri giacciono su una stessa retta. Se invece non ci sono punti base, sono possibili due casi: nella prima ipotesi, i centri giacciono comunque su una retta, e le circonferenze semplicemente "scorrono" su questa; nella seconda ipotesi, i centri sono in realtà tutti lo stesso centro, e le circonferenze sono tutte concentriche. La cosa interessante è che, proprio a causa della natura specifica del fascio, basta considerare due circonferenze "a caso" appartenenti al fascio e considerare la loro posizione reciproca (guarda qui https://library.weschool.com/lezione/posizione-reciproca-circonferenze-esterne-interne-centro-diametro-raggio-cerchi-4709.html) per capire in quale caso ci troviamo: se sono concentriche, siamo nell'ultimo caso; se non hanno punti in comune né hanno lo stesso centro, siamo nel caso delle circonferenze "scorrevoli"; se sono secanti siamo nel caso di due punti base; se sono tangenti siamo nel caso di un punto base e una retta tangente a tutte. Per dirla tutta, potremmo avere un po' di sfortuna e trovare due circonferenze tangenti anche nel caso di un fascio di circonferenze non tangenti: consigli di prendere sempre tre circonferenze, e così andiamo sul sicuro. Spero che sia tutto chiaro, fammi sapere se hai bisogno di qualcosa di più specifico! Ciao e buona giornata :3