Due circonferenze che giacciono sullo stesso piano possono assumere posizioni diverse l’una rispetto all’altra. Queste posizioni reciproche sono classificate a seconda della relazione tra i raggi e le distanze tra i centri.
Consideriamo innanzitutto due circonferenze $\mathcal{C}_1$ e $\mathcal{C}_2$, di raggi rispettivamente $r_1$ ed $r_2$, e di centri rispettivamente $C_1$ e $C_2$. Sia inoltre $d$ la distanza tra i due centri, e supponiamo infine che $r_2 \geq r_1$.
Vediamo allora tutti i casi nel dettaglio.
Circonferenza esterna
Le due circonferenze non si intersecano e sono una al di fuori dell’altra.
abbiamo allora che $$ d> r_1 + r_2 $$
Circonferenza interna eccentrica
Le due circonferenze sono una interna all’altra, ma con centri diversi e senza punti in comune. La distanza tra i centri è minore della differenza dei raggi.
Usando la notazione del caso precedente abbiamo che $$ 0 < d < r_2 - r_1 $$
Circonferenza interna concentrica
In questo caso le due circonferenze di raggio diverso condividono il centro.
Per ricavare la relazione tra $ d $, $r_1$ ed $r_2$ basta prendere in considerazione il triangolo formato da un punto di intersezione e due centri. Le lunghezze dei lati di questo triangolo corrispondono proprio ai due raggi e alla distanza $d$, per cui dalle disuguaglianze triangolari ricaviamo la condizione doppia: $$ r_2 - r_1 < d < r_2 + r_1 $$
Circonferenze tangenti
Le circonferenze condividono un solo punto, che viene chiamato punto di tangenza ed è allineato con i centri. Si distinguono due casi:
Per ricavare la relazione tra $ d $, $r_1$ ed $r_2$ basta prendere in considerazione il triangolo formato da un punto di intersezione e due centri. Le lunghezze dei lati di questo triangolo corrispondono proprio ai due raggi e alla distanza $d$, per cui dalle disuguaglianze triangolari ricaviamo la condizione doppia: $$ r_2 - r_1 < d < r_2 + r_1 $$
Circonferenze tangenti
Le circonferenze condividono un solo punto, che viene chiamato punto di tangenza ed è allineato con i centri. Si distinguono due casi:
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Nella prima figura le circonferenze sono tangenti esternamente mentre nella seconda lo sono internamente. Le due configurazioni si distinguono attraverso la relazione tra $d$, $r_1$ e $r_2$: per la tangenza esterna vale $$ d = r_1 + r_2 $$ mentre per la seconda $$ d = r_2 - r_1$$.
Quando in un esercizio viene richiesta la posizione reciproca di due circonferenze, quindi, non è necessario utilizzare una rappresentazione grafica: basta calcolare la distanza fra i centri e confrontarla con la somma o con la differenza dei raggi.
Per esempio consideriamo le circonferenze $\mathcal{C}_1 \ : \ x^2 + y^2 - 2x + 4y +1 =0 $ e $\mathcal{C}_2 \ : \ x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0 $, che hanno rispettivamente centri di coordinate $C_1 \equiv (1;2)$ e $C_2 \equiv (-3;4)$ e raggi $r_1 = 2$ ed $r_2 = 5$ (come si può ricavare utilizzando le formule per le coordinate del centro e il raggio). La distanza tra centri è pari a $d = \sqrt{20}$ che è compreso tra $4$ e $5$ ($16 < 20 < 25$ $\Rightarrow$ $\sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25}$ $\Rightarrow$ $4 < \sqrt{20} < 5$) e quindi sicuramente è compreso tra $r_2 - r_1 = 3$ e $ r_1 + r_2 = 7$. Possiamo allora concludere che le due circonferenze sono secanti.