Studio di funzione

Ciao Ouma! Bentornata :D Ricordiamo ancora le proprietà delle funzioni logaritmiche, questa volta per le disequazioni https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-logaritmiche-logaritmi-esercizi-svolti-esempi-9375.html. Il logaritmo naturale $\ln$ è in base $e = 2.71828\dots > 1$, quindi valgono le seguenti:$$ \begin{array}{c} \ln (\bullet) = 0 \Leftrightarrow \bullet = 1 \\ \ln(\bullet) > 0 \Leftrightarrow \bullet > 1 \\ \ln(\bullet) < 0 \Leftrightarrow 0 < \bullet < 1 \end{array}$$In parole povere, l'argomento deve essere uguale, maggiore o minore di $1$. Per studiare il segno della tua funzione, ad esempio scoprire quando $f(x) > 0$, dobbiamo studiare il segno di $-x^3 + 2x > 1$, cioè $-x^3 > -2x + 1$ (allo stesso modo, scopriamo quando $f(x) = 0$ e quando $ f(x) < 0$). Scritta così la disequazione è abbastanza facile da risolvere, anche per via grafica: basta disegnare i grafici delle funzioni elementari $-x^3$ (una cubica) e $-2x +1$ (una retta). Se non ti ricordi come si disegnano, consulta pure questa guida: https://library.weschool.com/lezione/grafico-di-una-funzione-elementare-analitica-studio-di-funzione-14839.html. Ad ogni modo, è facile accorgersi che devono esserci tre intersezioni ($x^3$ è di terzo grado), una di queste è in $x=1$, un'altra in un punto compreso tra $0$ e $1$ e la terza prima di $-1$. Su quest'ultima dovremmo garantire che sta dentro il dominio: deve stare dopo $-\sqrt{2}$. Possiamo usare il teorema degli zeri (che dimostriamo qui https://library.weschool.com/lezione/teorema-di-bolzano-teorema-valore-intermedi-degli-zeri-13673.html): sappiamo che $f$ assume valori negativi per $ x \to -\sqrt{2}^{-}$, mentre $\lim_{x \to -\infty} f(x) = + \infty$. Possiamo allora trovare due punti, uno vicino a $-\sqrt{2}$, diciamo $-\sqrt{2} - 0,0001 = b$, l'altro, che so, $-10000000000 = a$, in cui $f$ assume valor di segno opposto. Quindi, su $[a,b]$ $f$ ammette almeno uno zero per il teorema degli zeri; sappiamo, per l'analisi che abbiamo fatto di $-x^3+2x -1$, che ne ammette al massimo uno, quindi l'abbiamo beccato! Da qualche parte tra $-10000000000$ e $-\sqrt{2} - 0,0001$. Per il segno non c'è molto altro da fare: sappiamo che ha tre zeri, sappiamo i limiti e conosciamo il dominio; siccome la funzione è continua, non può cambiare il segno a meno che non passi da uno zero o cambi "pezzo" del dominio. Con un rapido diagramma possiamo già tracciare un grafico qualitativo! Spero sia tutto chiaro: si potrebbe anche fare in un altro modo, ma questo mi sembra più appropriato perché è proprio dell'Analisi Matematica :3 Se hai dubbi o domande, chiedi pure! Ciao e buona giornata.