Studio di funzioni
Ho difficoltà nello studio di questa funzione logaritmica, in particolare sul dominio e i limiti y= ln(-x^3 + 2x) vi prego aiutatemi!!!! Grazie in anticipo!
il 26 Luglio 2016, da Ouma Dardour
Ciao Ouma! Lascia che riscriva innanzitutto la tua funzione per capire se siamo sulla stessa pagina:$$ f(x) = \ln\left(-x^3 + 2x \right)$$Seguendo i passaggi per lo studio di funzione, che riassumiamo qui https://library.weschool.com/lezione/studio-di-funzione-lista-delle-cose-da-fare-7604.html, come prima cosa dovremmo studiare il dominio di questa fuznione: dobbiamo quindi risolvere $-x^3 + 2x > 0$, una disequazione di terzo grado; con semplici passaggi (non molto diversi da quelli che sono illustrati qui https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-fratte-secondo-primo-grado-frazionario-esercizi-svolti-13201.html), scopriamo che la soluzione è l'unione di due intervalli: $(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (0,\sqrt{2})$. Quindi, sempre proseguendo con l'analisi dell funzione, dovremo calcolare i limiti agli esremi del dominio: quindi, per $x$ tendente a $-\infty$, a $-\sqrt{2}^{-}$, a $0^+$ e a $\sqrt{2}^{-}$. Gli ultimi tre sono facili: ricordiamo qui https://library.weschool.com/lezione/limiti-di-esponenziali-e-logaritmi-spiegazione-5916.html che se l'argomento di una funzione logaritmica tende a $0^+$, allora la funzione tenderà a $-\infty$. Di conseguenza,$$ \lim_{x \to -\sqrt{2}^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to \sqrt{2}^{+}} f(x) = -\infty $$Il limite rimanente, invece, vede l'argomento del logaritmo tendere a $+\infty$: infatti il termine dominante è (occhio al segno) $-x^3$. Quindi avremo$$ \lim_{x \to -\infty } f(x) = +\infty $$Spero sia tutto chiaro: se hai ulteriori dubbi, chiedi pure! Ciao e buona giornata :D