Triangolo rettangolo

Ciao Matteo! O forse dovrei dire... ciao a tutti :D Il problema che mi sottoponete è in effetti non proprio banale, ma con qualche trucco si riesce ad arrivare alla soluzione. Per prima cosa diamo un po' di nomi: chiamiamo $a$, $b$ i cateti del triangolo rettangolo, $c$ l'ipotenusa e $h$ l'altezza relativa all'ipotenusa. I dati del problema corrispondono dunque al sistema $$ \begin{cases} a+b=70 \\ c+h=74 \end{cases} $$Notiamo anche il seguente fatto: $ab = ch$. Questo discende dal fatto che l'area del triangolo si può trovare alternativamente con la formula $A=\frac{ab}{2}$, o anche $A=\frac{ch}{2}$. Teniamo a mente questo fatto, ci servirà tra poco. Prendiamo la prima equazione del sistema scritto prima: $a+b= 70$. Possiamo elevare al quadrato entrambi i membri, dato che tutte le quantità coinvolte sono positive ($a$ e $b$ sono lunghezze di segmenti) e otteniamo $a^2 + b^2 + 2ab = 4900$. A questo punto possiamo utilizzare il teorema di Pitagora ( https://library.weschool.com/lezione/pitagora-teorema-formule-dimostrazione-geometria-piana-12700.html ) per ottenere $a^2 + b^2 = c^2$; per quanto detto poco fa, inoltre, $2ab = 2ch$. In conclusione il nostro sistema diventa equivalente a questo: $$ \begin{cases} c^2 + 2ch=4900 \\ c+h=74 \end{cases} $$Questo è un sistema di secondo grado in $c$ e $h$ (ecco spiegato il metodo di risoluzione per sostituzione: https://library.weschool.com/lezione/metodo-di-sostituzione-sistemi-equazioni-secondo-grado-risoluzione-13206.html ), che può ammettere al massimo due soluzioni, ovvero due possibili coppie $(c, h)$ che soddisfano le equazioni coinvolte. Facendo i conti, vi accorgerete che le coppie sono effettivamente due, ma che una di queste ha $h < 0$, che non è coerente col fatto che $h$ è la lunghezza di un segmento. In conclusione (come avevate intuito) si ottiene proprio $c = 50, h = 24$. A questo punto il gioco è fatto: non è neanche necessario trovare $a$ e $b$ separatamente, dato che $2p = a + b+ c = 70 + 50 = 120$. Questo è il metodo più semplice e veloce che sono riuscito a trovare: spero che vi piaccia :) se avete altre domande, o se volete altri chiarimenti, fatemi sapere! Buona giornata, e buono studio!