Quando abbiamo a che fare con un sistema di equazioni, possiamo definirne il grado: si tratta del prodotto dei gradi delle equazioni che sono presenti nel sistema.
Se vogliamo risolvere un sistema di primo grado, esistono svariati metodi che possiamo applicare, come il metodo di sostituzione, il metodo del confronto, il metodo di sottrazione (o di eliminazione) e il metodo di Cramer. In generale, invece, quando alziamo il grado del sistema a $2$, abbiamo meno scelta: per esempio, il metodo di Cramer non può più essere applicato. Alcune tipologie di sistemi di secondo grado o di grado superiore a $2$, come i sistemi simmetrici, hanno comunque metodi ad hoc che permettono di risolverli in maniera abbastanza rapida, ma in generale non è detto che un sistema di secondo grado (o di grado superiore) appartenga a una di queste tipologie.
In generale - anche se non è detto che sia il metodo migliore - è comunque sempre possibile risolvere un sistema di grado arbitrario con il metodo di sostituzione. Come accadeva per i sistemi di primo grado, il metodo consiste nell’esplicitare una delle incognite in una delle equazioni, per poi sostituire quanto ottenuto al posto dell’incognita nelle altre equazioni del sistema. Ovviamente, più è alto il numero di equazioni e di incognite, o più alto è il grado del sistema, maggiori saranno le difficoltà nello svolgere i calcoli.
In questa lezione vedremo alcuni esercizi svolti in cui si applica il metodo di sostituzione per risolvere sistemi di secondo grado con due equazioni e due incognite (che è la tipologia più semplice possibile). Grazie a questi esempi, vedremo come un sistema di secondo grado di questo tipo possa avere alternativamente:
- $\mathbf{2}$ soluzioni distinte;
- $\mathbf{1}$ soluzione (o meglio, due soluzioni coincidenti);
- nessuna soluzione (cioè, il sistema è impossibile);
- infinite soluzioni (cioè, il sistema è indeterminato).
È bene sottolineare che questa suddivisione non è "piovuta dal cielo", ma è in accordo con l'interpretazione geometrica dei sistemi di secondo grado di due equazioni in due incognite.
Esercizio 1.
Vogliamo risolvere il sistema: $$\begin{cases} x^2-xy = y^2+11 \\ 2x+4+y = 0 \end{cases}$$Il sistema è di secondo grado, perchè la prima equazione ha grado $2$ e la seconda ha grado $1$.
Dobbiamo esplicitare $x$ oppure $y$ all’interno di una delle due equazioni date. La prima equazione, essendo di secondo grado, rende molto più laborioso il procedimento, sia per $x$ che per $y$: quindi passiamo alla seconda equazione, che essendo di primo grado è molto più facile da manipolare. In generale, in un sistema di secondo grado, questa è sempre la scelta migliore (se si vuole applicare il metodo di sostituzione). Otteniamo quindi: $$\begin{cases} x^2-xy = y^2+11 \\ y = -2x-4 \end{cases}$$Nella prima equazione, se sostituiamo al posto di $y$ l’espressione $-2x-4$, otteniamo l’equazione risolvente:
##KATEX##\begin{aligned}x^2 - x \cdot (-2x-4) & = (-2x-4)^2 + 11 \\x^2 + 2x^2 + 4x & = 4x^2 + 16x + 16 + 11 \\-x^2 - 12x - 27 & = 0 \\x^2 + 12x + 27 = 0\end{aligned}##KATEX##
Vediamo che la risolvente è un’equazione di secondo grado: applicando il metodo risolutivo, otteniamo due soluzioni $x_1 = -9$ e $x_2 = -3$. Ciascuna di queste soluzioni deve essere sostituita in una delle equazioni del sistema di partenza, per ottenere il valore corrispondente di $y$: per semplicità, scegliamo l’equazione di primo grado (cioè la seconda). Otteniamo quindi: $$\begin{cases} x_1 = -9 \\ y_1 = -2 \cdot (-9) - 4 = 14 \end{cases} \qquad \begin{cases} x_2 = -3 \\ y_2 = -2 \cdot (-3) - 4 = 2 \end{cases}$$Quindi il sistema ha due soluzioni distinte: le coppie $(-9, 14)$ e $(-3,2)$.
Esercizio 2.
Prendiamo il sistema: $$\begin{cases} (x+y)(x+1) = 2(1-x)-5 \\ 1+2[x-(1-y+x)] = 1 \end{cases}$$Svogliamo i conti presenti in ciascuna equazione per fare un po’ di chiarezza: $$\begin{cases} x^2+yx+x+y = 2-2x-5 \\ 1+2x-2+2y-2x = 1 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} x^2 + yx + 3x + y + 3 = 0 \\ 2y-2 = 0 \end{cases}$$La seconda equazione è equivalente a $y=1$. Abbiamo quindi esplicitato una delle due variabili, e possiamo sostituirne il valore all’interno della prima equazione: $$x^2 +x +3x +1+3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + 4 = 0$$Questa equazione risolvente è di secondo grado: ci si accorge però che questo è il quadrato del binomio $x+2$. Quindi: $$x^2+4x+4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x+2)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -2$$Questa volta otteniamo allora solamente una soluzione per il nostro sistema, che è la coppia $(-2, 1)$.
Esercizio 3.
Consideriamo il sistema $$\begin{cases} 2y-x = 0 \\ (y-x)^2 = 4+xy \end{cases}$$Prima di svolgere i conti, esplicitiamo la $x$ nella prima equazione, ottenendo:$$\begin{cases} x = 2y \\ (y-x)^2 = 4+xy \end{cases}$$A questo punto facciamo la sostituzione, ottenendo la risolvente:$$(y-2y)^2 = 4 + (2y) \cdot y \quad \Rightarrow \quad y^2 = 4 + 2y^2 \quad \Rightarrow \quad y^2+4 = 0$$Questa equazione di secondo grado è impossibile, perché ha delta negativo: quindi anche il sistema è impossibile.
Esercizio 4.
Prendiamo il sistema: $$\begin{cases} 2x+y+7 = 0 \\ 4x^2 = (y+7)^2 \end{cases}$$Esplicitiamo $y$ nella prima equazione: $$\begin{cases} y=-2x-7 \\ 4x^2 = (y+7)^2 \end{cases}$$Sostituendo, otteniamo la risolvente: $$4x^2 = (-2x-7+7)^2 \quad \Rightarrow \quad 4x^2 = 4x^2$$Come si può vedere, questa equazione è in realtà equivalente a $0 = 0$: ovvero, la risolvente è un’equazione indeterminata. Quindi il sistema è indeterminato.