Calcolo dell’interesse, del montante e del capitale

L’interesse è il compenso che spetta a un soggetto, detto creditore, che presta un capitale per un certo periodo di tempo ad un tasso prefissato a un soggetto detto debitore. Nelle formule seguenti, indicheremo con $I$ l’interesse, con $C$ il capitale, con $t$ il tempo e con $r$ il tasso d’interesse.

L’importo che a scadenza il debitore rimborserà al creditore è la somma fra il capitale concesso in prestito e l’interesse maturato. Tale importo è detto Montante, e nelle formule si usa indicarlo con la lettera $M$.
Formalizzando:$$ M = C + I$$Rappresentando graficamente su un asse orientato, cosiddetto asse dei tempi, si ha la seguente situazione:

L’Interesse è direttamente proporzionale a:

• $C$ ovvero il capitale prestato
• $r$ ovvero il tasso di interesse concordato fra creditore e debitore (spesso espresso come percentuale)
• $t$ ovvero il tempo intercorrente fra la data di concessione del prestito e la di rimborso dello stesso

A seconda di quale unità usiamo per computare la durata $t$, è possibile derivare la formula per calcolare l’interesse:

• $ I = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 100 }}$ se il tempo è espresso in anni
• $ I = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 1200 }}$ se il tempo è espresso in mesi
• $ I = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 36500 }}$ se il tempo è espresso in giorni calcolati secondo il calendario dell’anno civile
• $ I = \displaystyle{\frac{ C \cdot r \cdot t }{ 36000 }}$ se il tempo è espresso in giorni calcolati secondo il calendario dell’anno commerciale (considerando tutti i mesi di 30 giorni)

PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DELL'INTERESSE

Il 5 gennaio dell’anno N un imprenditore ottiene un prestito di 20.000 € al tasso del 5%; calcolare l’interesse maturato il 12 novembre dello stesso anno.

Graficamente:

È necessario calcolare preliminarmente i giorni che intercorrono fra il 05/01/N e il 12/11/N:##KATEX##\begin{aligned}Gennaio & \quad 26 \\Febbraio & \quad 28 \\Marzo & \quad 31\\Aprile & \quad 30\\Maggio & \quad 31\\Giugno & \quad 30\\Luglio & \quad 31\\Agosto & \quad 31\\Settembre & \quad 30\\Ottobre & \quad 31\\Novembre & \quad 12\\ & \quad 311\end{aligned}##KATEX##Si ricordi che il tempo trascorso $t$, è stato calcolato in giorni. Pertanto si avrà:$$ I = \frac{ 20.000 \cdot 5 \cdot 311 }{ 36.500 } = 852,05 $$L’Interesse maturato il 12 novembre ammonta a 852,05 €.

Per calcolare il Montante, come già detto in precedenza, è necessario sommare Capitale e Interesse: $M = C + I$. Sostituendo a I la formula dell’Interesse, $\frac{C \cdot r \cdot t }{ 100}$ si ottiene $M = C + \displaystyle{\frac{C \cdot r \cdot t }{ 100}}$. Raccogliendo poi la $C$ a fattore comune abbiamo $ M = C \cdot \displaystyle{\left( 1 + \frac{ r \cdot t }{ 100} \right)} $. Infine calcolando il minimo comune denominatore, perveniamo alla formula del montante:$$ M = C \cdot \left(\frac{100 + r \cdot t }{ 100 }\right) $$Se il tempo viene calcolato in unità differenti, occorre modificare il denominatore di consenguenza, secondo quanto indicato nelle varie formule per l’interesse.

PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DEL MONTANTE

Con riferimento al problema procedente, calcolare il Montante.

È possibile procedere in due modi.

Un primo modo è quello di sommare al capitale gli interessi calcolati:$$ M = C + I = 20000 + 852,05 = 20.852,05 $$Un secondo modo è quello di applicare la formula del montante ricavata sopra:$$ M = C \cdot \left( \frac{100 + r \cdot t }{ 100 } \right) = 20000 \cdot \left( \frac{ 36.500 + 5 \cdot 311 }{ 36.500} \right) = 20.852,05 $$In ogni caso, il 12 novembre l’imprenditore rimborserà il prestito pagando il montante di 20.852,05 €

Dalla formula per il calcolo dell’interesse, è possibile ricavare le seguenti formule inverse dell’interesse:##KATEX##\begin{aligned}C = I \cdot \frac{100 }{ r } \cdot t \\r = I \cdot \frac{100 }{ C } \cdot t \\t = I \cdot \frac{ 100 }{ C } \cdot r\end{aligned}##KATEX##Si presti attenzione all’unità in cui viene computata la durata $t$: a seconda, si dovrà cambiare il “$100$” con un numeratore opportuno.

PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL CAPITALE

Tizio ha ottenuto un prestito al tasso del 10% per 20 mesi.

Sapendo che ha pagato interessi per 10.000 €, calcolare l’importo del prestito.

Graficamente:

Applicando la formula inversa del capitale, e prestando attenzione al fatto che la durata è calcolata in mesi, otteniamo$$ C = I \cdot \frac{ 1200 }{ r } \cdot t = 10000 \cdot \frac{1200 }{ 10 } \cdot 20 = 60000 $$L’importo del prestito è quindi di 60.000 €

PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL TASSO

Caio a saldo di un debito di 80.000 € scaduto 720 giorni prima versa un montante di 96.000 €.

Calcolare il tasso di interesse applicato.

Si calcola innanzitutto l’Interesse:$$ I = M – C = 96000 – 80000 = 16000$$Applicando la formula inversa del tasso di interesse, e prestando attenzione al fatto che il tempo è calcolato in giorni, abbiamo:$$r = I \cdot \frac{36000 }{ C }\cdot t = 16000 \cdot \frac{36000 }{ 80000} \cdot 720 = 10$$Il tasso applicato è il 10%

PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL TEMPO

Sempronio ha ottenuto un prestito di 200.000 € al tasso del 5%.

Sapendo che a scadenza restituisce un montante di 300.000 €; calcolare la durata del prestito.

Graficamente:

Si calcola innanzitutto l’Interesse:$$I = M - C = 300000 - 200000 = 100000$$Si applica quindi la formula inversa:$$ t = I \cdot \frac{100 }{C} \cdot r = 100000 \cdot \frac{100 }{ 200000 } \cdot 5 = 10 $$La durata del prestito è quindi di 10 anni.

È infine possibile ricavare la formula inversa del capitale quando sono noti montante, tasso di interesse e tempo:$$ C = M \cdot \frac{100 }{100 + r \cdot t} $$

PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL CAPITALE

Ambrogio ha pagato alla propria banca 140.000 € per rimborsare un prestito ottenuto 5 anni prima al tasso del 8%.

Calcolare l’importo del prestito.

Applicando la formula inversa del capitale:$$ C = M \cdot \frac{ 100 }{ 100 + r \cdot t } = 140000 \cdot \frac{ 100 }{ 100 + 8 \cdot 5 } = 100000 $$

L’importo originario del prestito è di 100000 €

GLI INTERESSI DI DILAZIONE

Per interessi di dilazione si intendono gli interessi concordati fra creditore e debitore in caso di pagamento dilazionato.
Per interessi di mora si intendono invece gli interessi applicati al debitore in caso di pagamento ritardato; essi sono calcolati automaticamente in base al tasso legale di interesse determinato dallo Stato.

In fattura vengono inseriti solo gli interessi di dilazione, ma essi non rientrano nella base imponibile in quanto considerati operazione esente ai fini IVA.

Il capitale su cui calcolare gli interessi si ottiene sommando tutte le voci a partire dall’imponibile fino al totale fattura, ovvero$$ \text{Capitale } (C) = \text{ Base imponibile } + \text{ IVA } + \text{ Spese documentate } + \text{ Interessi}$$

PROBLEMA: CALCOLO DEGLI INTERESSI DI DILAZIONE

Viene emessa fattura per la vendita di merci al prezzo di 50.000 €.

Vengono applicate le seguenti condizioni di vendita:

• IVA ordinaria
• Spese accessorie 3.000 €
• Cauzioni per imballaggio 2.000 €
• Spese di trasporto documentate per 5.000 €
• Pagamento a 60 giorni con interessi al 5%

Per calcolare gli interessi di dilazione, e quindi il totale della fattura, è necessario determinare il capitale su cui calcolare gli interessi: esso si calcola sommando tutte le voci presenti, quindi$$C = 53000 + 11660 + 5000 + 2000 = 71660$$Pertanto gli interessi di dilazione saranno così calcolati:$$ I = \frac{ 71660 \cdot 5 \cdot 60 }{36500} = 588,98$$Gli interessi di dilazione ammontano a 588,98€, e di conseguenza il totale della fattura è pari a$$\text{Totale fattura } = 53000 + 11660 + 5000 + 2000 + 588,98 = 72248,98 $$

GLI INTERESSI BANCARI

Gli interessi calcolati dalle banche sui depositi effettuati dai clienti sono soggetti a una ritenuta fiscale a titolo d’acconto del 26%.

È quindi necessario calcolare prima gli Interessi lordi, ovvero l’ammontare degli interessi che percepirebbe il cliente se non dovesse pagare la ritenuta fiscale, e successivamente gli interessi netti.

Questi ultimi si calcolano sottraendo agli Interessi lordi la ritenuta fiscale:$$ \text{Interessi netti } = \text{ Interessi lordi } - \text{Ritenuta fiscale del }26\%$$Al momento dell’estinzione del deposito il cliente otterrà il capitale più gli interessi netti, ovvero:$$ M = C + I_{\text{netti}}$$

PROBLEMA

Una famiglia deposita in banca un capitale di 30.000 € al tasso lordo del 4%.

Calcolare il montante riscosso dopo 180 giorni.

Si calcolano innanzitutto gli interessi lordi:$$ I_{\text{lordi}} = \frac{30.000 \cdot 4 \cdot 180 }{ 36500 } = 591,78$$ La ritenuta fiscale del 26%, che indichiamo con $RF$, viene così calcolata:$$ RF = 591,78 \cdot 26\% = 153,86$$Quindi gli interessi netti ammontano a:$$I_{\text{netti}} = I_{\text{lordi}} - RF = 591,78 - 153,86 = 437,92$$Da cui si ottiene un montante di:$$M = C + I_{\text{netti}} = 30.000 + 437,92 = 30.437,92$$Il montante riscosso dopo 180 giorni ammonta quindi a 30.437,92 €.