In ambito commerciale esistono due tipi di sconto:
- Lo sconto mercantile
- Lo sconto commerciale
LO SCONTO MERCANTILE
Lo sconto mercantile è una riduzione di prezzo che il venditore applica al compratore.
Sono esempi di sconti mercantili gli sconti applicati in fattura sull’importo delle merci.
La relazione fondamentale per risolvere i problemi con lo sconto mercantile è:In questa formula:
- il Prezzo di listino è il prezzo dichiarato dal venditore prima di applicare lo sconto
- lo Sconto mercantile è lo sconto calcolato dal venditore sul prezzo di listino
- il Prezzo pagato è il prezzo effettivamente pagato dal compratore
La proporzione per calcolare lo sconto mercantile è:Dove è il tasso di sconto mercantile; come si vede, il tasso è espresso in percentuale.
PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DELLO SCONTO MERCANTILE E DEL PREZZO PAGATO
Un tablet è esposto in un negozio con un prezzo di listino di 400 €. Sapendo che il negozio applica uno sconto del 5%, calcolare il prezzo pagato dai clienti per l’acquisto del tablet.
Dati
Prezzo di listino = 400 €
r = 5%
Prezzo pagato = ?
Si calcola lo sconto impostando la proporzione:
Da qui ricaviamo che .
Il prezzo pagato dai clienti per l’acquisto di un tablet è quindi di €
Per calcolare direttamente il prezzo pagato o per risolvere problemi inversi è necessario fare ricorso alla seguente proporzione:oppure, usando le proprietà delle proporzioni, la proporzione equivalente
PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DEL PREZZO PAGATO
Risolvere il problema precedente in un unico passaggio.
Applichiamo la proporzione al problema precedente: , da cui arriviamo a . Il prezzo pagato dai clienti per l’acquisto di un tablet è 380 €
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL PREZZO DI LISTINO
Una famiglia ha pagato una vacanza al mare 2.250 €. Sapendo che ha ottenuto uno sconto del 10%, calcola il prezzo di listino.
Dati
Prezzo pagato = 2.250 €
r = 10%
Prezzo di listino = ?
Per risolvere questo problema, applichiamo la seguente proporzione: . Sostituendo i dati in nostro possesso, otteniamoIl prezzo di listino del viaggio è 2.500 €
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DELLO SCONTO MERCANTILE
Una squadra di calcio ha acquistato un set di magliette da allenamento pagando complessivamente 900 €. Sapendo che è stato applicato uno sconto del 10%, calcolare l’importo dello sconto ottenuto.
Dati
Prezzo pagato = 900 €
r = 10%
Sconto mercantile = ?
Ancora una volta, applichiamo una proporzione. Questa volta però, siccome dobbiamo calcolare l’importo dello sconto, è necessario usare la seguente:Sostituendo i dati in nostro possesso, abbiamo la seguente formula:Lo sconto ottenuto è di 100 €
LO SCONTO COMMERCIALE
Lo sconto commerciale è il compenso che spetta a chi paga un debito prima della scadenza. La differenza fondamentale fra sconto mercantile e sconto commerciale è che quest’ultimo dipende dal tempo.
La formula per calcolare l’importo dello sconto commerciale dipende pertanto da come si calcola il tempo. Abbiamo quindi quattro formule:
- se il tempo è espresso in anni
- se il tempo è espresso in mesi
- se il tempo è espresso in giorni calcolati secondo il calendario dell’anno civile
- se il tempo è espresso in giorni calcolati secondo il calendario dell’anno commerciale (considerando tutti i mesi di 30 giorni)
In queste formule:
- è l’ammontare dello sconto commerciale
- è il valore nominale del debito, cioè l’importo intero che il debitore avrebbe dovuto pagare a scadenza
- è il tasso di sconto commerciale
- è il tempo di anticipo con cui si paga il debito
La somma pagata effettivamente dal debitore al creditore è detta Valore Attuale (che nelle formule indicheremo con ); essa si calcola in questo modo:Sostituendo a la formula dello sconto commerciale si ha: . Raccogliendo a fattor comune la : . Calcolando il minimo comune denominatore dentro parentesi:Da notare che nella formula precedente abbiamo sottointeso che il tempo venisse calcolato in anni: se dovesse essere espresso in altre forme, come in mesi o giorni, al posto di bisognerà indicare il denominatore corretto, come illustrato in precedenza.
Possiamo anche rappresentare uno sconto commerciale graficamente. Avremo un diagramma di questo tipo:
PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DEL VALORE ATTUALE
Il 12 gennaio Tizio salda anticipatamente un proprio debito di 20.000 € scadente il 30 ottobre dello stesso anno. Sapendo che ha ottenuto uno sconto del 10%, calcolare la somma effettivamente pagata.
Impostiamo il grafico:
Si può risolvere il problema in due modi.
Il primo modo consiste nel calcolare prima lo sconto commerciale e poi il valore attuale.
È innanzitutto necessario determinare i giorni intercorrenti fra il 12 gennaio e il 30 ottobre:Siccome abbiamo calcolato il tempo trascorso come giorni di un anno solare, il denominatore delle formule per il calcolo dello sconto commerciale sarà : avremo quindiQuindi si procede a calcolare il Valore Attuale:Il secondo modo consiste nell’applicare la formula del Valore Attuale:La somma effettivamente pagata dal debitore è quindi di 18.405,48 €
È possibile ricavare le seguenti formule inverse dello Sconto Commerciale:
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL VALORE NOMINALE DEL DEBITO
Tizio ha pagato un debito in anticipo di 30 mesi ottenendo uno sconto del 6%. Sapendo che lo sconto ottenuto ammonta a 7.500 €, calcolare l’importo del debito.
Graficamente:
Applicando la formula inversa del valore nominale (e prestando attenzione al fatto che il tempo è calcolato in mesi):Il valore nominale del debito è quindi di 50.000 €
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL TASSO DI SCONTO
Caio paga 23.700 € per estinguere un proprio debito di 30.000 € scadente dopo 3 anni. Calcolare il tasso di sconto applicato.
Graficamente:
È necessario calcolare innanzitutto lo sconto commerciale: applicando la formula di definizione, abbiamo cheApplicando ora la formula inversa del tasso di sconto: siccome il tempo è espresso in anni, il denominatore sarà 100. Otteniamo quindiIl tasso di sconto applicato è del .
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL TEMPO
Sempronio paga anticipatamente un proprio debito di 6.000 € ottenendo uno sconto di 960 €. Sapendo che il tasso di sconto applicato è dell’8%, calcolare i giorni di anticipo con cui è stato pagato il debito.
Graficamente:
Calcolaremo il tempo in giorni; applicando la formula inversa per ottenere il tempo, quindi, abbiamo cheIl debito è stato pagato con un anticipo di 730 giorni.
È infine possibile ricavare la formula inversa per calcolare il valore nominale del debito, quando sono noti il valore attuale, il tasso di sconto e il tempo. Dalla definizione di sconto commercialeabbiamo ricavato che . Esplicitanto ora il valore nominale , si ha che:In questa formula, il tempo viene calcolato in anni; se venisse calcolato in altre unità, sostituire a il corrispettivo valore.
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DEL VALORE NOMINALE DEL DEBITO
Ambrogio paga con un anticipo di 20 mesi un debito su cui ottiene uno sconto del 12%. Sapendo che Ambrogio ha pagato effettivamente 32.000 €, calcolare l’importo del debito.
Graficamente:
Il tempo viene calcolare in mesi: applicando correttamente la formula inversa per calcolare si ottiene:Il valore nominale del debito è quindi di 40.000 €