Nella vita di tutti giorni si usano spesso espressioni che confrontano una grandezza parziale (una parte) al tutto (al totale da cui è stata estratta).
Si consideri il seguente esempio: al compleanno di Luca è stata preparata una grossa torta divisa in $10$ fette uguali fra loro.
Come è possibile “descrivere matematicamente” ciascuna parte, o nel nostro esempio, ciascuna fetta?
Una prima risposta viene dal calcolo frazionario: ogni fetta rappresenta $\frac{1}{10}$ dell’intero.
Infatti ogni qualvolta che si suddivide un intero in parti è possibile ricorrere a delle frazioni così costruite:
- al numeratore il numero di parti (di fette) considerate, che si vuole descrivere matematicamente: nel nostro esempio, $1$ (fetta)
- al denominatore il numero di parti (di fette) in cui è stato diviso l’intero (la torta): nel nostro esempio, $10$ (fette)
Pertanto la frazione che si ottiene è appunto $\frac{1}{10}$, ovvero ogni fetta rappresenta $\frac{1}{10}$ della torta.
Tuttavia l’utilizzo delle frazioni per descrivere fenomeni economici è piuttosto infrequente; si preferisce usare il calcolo percentuale che appare più immediato al lettore.
Il calcolo percentuale è una proporzione in cui al primo membro le grandezze sono espresse in percentuali (ovvero con riferimento a $100$) mentre al secondo membro sono espresse in termini assoluti. Si avrà quindi la seguente proporzione:$$100 : r = T : P $$In questa formula, abbiamo:
$r$ = è la “ragione”, ovvero il tasso percentuale (indicato con il simbolo $\%$);
$S$ = è il “ Totale” (il numero) su cui si calcola la percentuale;
$P$ = è la “Parte” ovvero il valore in termini assoluti della percentuale.
Tornando all’esempio della torta si ha la seguente proporzione: mediante le usuali tecniche che si usano per risolvere le proporzioni, otteniamo $ 100 : r = 10 : 1 \Rightarrow r = \frac{100 \times1 }{ 10 }= 10 \%$. Ogni fetta rappresenta il $10\%$ della torta.
Appare quindi evidente che scrivere $\frac{1}{10}$ o scrivere $10\%$ è indifferente, ovvero le due espressioni sono fra loro sinonimi.
Si possono incontrare diverse tipologie di problemi risolvibili con tale proporzione.
PROBLEMA DIRETTO: CALCOLO DI $P$
Una partita di merce del costo di 10.000 € è stata rivenduta con un utile pari al $10 \%$ del costo.
Calcolare l’utile conseguito.
Dati: Costo = 10.000 €; Utile = 10% del costo
Richiesta: Utile in euro = ?
Impostiamo la seguente tabella:$$\begin{array}{ccccccc}\text{Costo} & & \text{Utile} & &\text{Costo} & & \text{Utile} \\ 100 & : & r & = & T & : & P \\ 100 & : & 10 & = & 10.000 & : & X \end{array}$$Per controllare la correttezza della proporzione si deve verificare che i due membri siano omogenei per ordine delle grandezze inserite: in questo caso in entrambi i membri si ha “Costo : Utile”. Risolvendo la proporzione, arriviamo all’equazione: $X = \frac{10000 \cdot 10}{100}$, per cui $X = 1000$. L’utile è 1.000 €
In generale, per calcolare $P$ è sufficiente effettuare il seguente calcolo:$$P = T \cdot \frac{r}{100}$$
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DI $r$
Una partita di merce del costo di 10.000 € è stata rivenduta con un utile di 1.000 €.
Calcolare la percentuale di utile rispetto al costo.
Dati: Costo = 10.000 €; Utile = 1.000 €
Richiesta: Utile in percentuale rispetto al costo = ?
Impostiamo sempre la tabella$$\begin{array}{ccccccc} \text{Costo} & & \text{Utile} & &\text{Costo} & & \text{Utile} \\ 100 & : & r & = & T & : & P \\ 100 & : & X & = & 10.000 & : & 1.000 \end{array}$$L’equazione a cui arriviamo è $X = {100 \cdot 1000}{10000}$, che ha soluzione $X = 10$. L’utile è quindi pari al $10\%$ del costo di acquisto.
PROBLEMA INVERSO: CALCOLO DI $S$
Una partita di merce è stata rivenduta con un utile di 1.000 € pari al $10\%$ del costo d’acquisto.
Calcolare il costo di acquisto.
Dati: Utile = 1.000 €; Utile = $10\%$ del costo
Richiesta: Costo = ?
Avremo in questo caso la tabella$$\begin{array}{ccccccc} \text{Costo} & & \text{Utile} & &\text{Costo} & & \text{Utile} \\ 100 & : & r & = & T & : & P \\ 100 & : & 10 & = & X & : & 1.000 \end{array}$$ L’equazione a cui perveniamo è $X = \frac{100 \cdot 1000}{10}$, che ha soluzione $X = 10000$. Il costo d’acquisto è dunque di 10.000 €.
Nei problemi da svolgere non sempre è noto $T$, ovvero non sempre si conosce la somma totale su cui calcolare la ragione percentuale. Tali problemi si possono risolvere costruendo la “matrice FPV” (Formula Percentuale Valore):
Nella prima colonna deve essere scritta la formula che lega le grandezze individuate nel problema.
Nella seconda colonna devono essere inseriti i valori percentuali di ciascuna grandezza.
Nella terza colonna devono essere inseriti i valori effettivi di ciascuna grandezza, indicando con $X$ il termine incognito che si vuole calcolare.
Dopo aver riempito la matrice FPV sarà possibile impostare la proporzione risolutiva come negli esempi riportati nel seguito.
PROBLEMA SOTTO CENTO
Una partita di merce acquistata al costo di 10.000 € è stata rivenduta con un utile pari al $10 \%$ del ricavo. Calcolare l’utile.
Dati:
Costo = 10.000 €, Utile = $10 \%$ del ricavo
Il problema si risolve costruendo la matrice FPV.
Innanzitutto si inserisce la formula che lega le grandezze citate dal problema: ricavo, costo e utile; ovvero:$$\text{Ricavo } - \text{ Costo } = \text{ Utile}$$Pertanto la prima colonna della matrice apparirà nel seguente modo:
Dopodiché si procede a compilare la seconda colonna quella delle percentuali considerando che l’Utile è il $10\%$ del ricavo; nella tabella inseriremo quindi $\text{Utile } = 10\%$, $\text{Ricavo }= 100\%$. Come regola generale, la grandezza che viene scritta dopo del è sempre il $100 \%$, ovvero l’intero di cui si vuole calcolare la percentuale.
Pertanto la matrice apparirà così:
Seguendo l’operazione indicata nella prima colonna, si avrà:$$ 100 \% - \dots = 10 \%$$Pertanto il Costo è il 90%, infatti $100\% - 90\% = 10\%$. Completando la seconda colonna:
Nella terza colonna si inserisce l’unico valore effettivo conosciuto ovvero il Costo di 10.000 € e si indica con $X$ l’utile che viene chiesto di calcolare dal problema:
Si evidenziano ora le righe complete sia di percentuale sia di valore effettivo: nel nostro caso, la seconda e la terza:
Esse rappresentano rispettivamente il primo e il secondo membro della proporzione necessaria a risolvere il problema:$$ 90 : 10.000 = 10 : X$$Da cui ricaviamo l’equazione $X = \frac{10000 \cdot 10}{90} = 1111,11$. L’Utile è di 1.111,11 €.
Nella proporzione risolutiva non appare il valore $100$ bensì un valore minore di $100$ ($90$): per questo motivo, il problema è detto “calcolo sotto cento”.
PROBLEMA SOPRA CENTO
Una partita di merce venduta a 10.000 € ha permesso di conseguire un utile pari al 10% del costo di acquisto. Calcolare l’utile.
Dati:
Ricavo = 10.000 €, Utile = $10 \%$ del costo
Il problema si risolve costruendo la matrice FPV.
Innanzitutto si inserisce la formula che lega ricavo, costo e utile ovvero:
Dopodiché si procede a compilare la seconda colonna quella delle percentuali. Sappiamo che l’Utile è il $10\%$ del costo, quindi poniamo $\text{Utile }= 10\%$ e $\text{Costo }= 100\%$, in quanto il Costo è scritto dopo “del”. Pertanto si avrà:
Seguendo l’operazione indicata nella prima colonna, si avrà:$$ \dots - 100 \% = 10 \%$$Pertanto il Ricavo è il $110 \%$, infatti $110 \% - 100 \% = 10 \%$. Completando la seconda colonna si avrà:
Nella terza colonna viene inserito l’unico valore effettivo conosciuto ovvero il Ricavo di 10.000 € e si indica con $X$ l’utile che il problema richiede di calcolare:
Si evidenziano ora le righe che complete sia di percentuale sia di valore effettivo:
Esse rappresentano rispettivamente il primo e il secondo membro della proporzione necessaria a risolvere il problema: $$ 110 : 10000 = 10 : X$$Risovlendo la proporzione, arriviamo all’equazione $X = \frac{10.000 \cdot 10 }{110} = 909,09$. Il Costo è quindi di 909,09 €.
In quanto nella proporzione risolutiva non appare il valore $100$ bensì un valore maggiore ($110$), il problema è detto “calcolo sopra cento”.
Nella risoluzione dei problemi con le percentuali si incontrano spesso grandezze legate dalle seguenti formule:
- $ \text{Ricavo } - \text{ Costo } = \text{ Utile}$ (se la differenza è un numero positivo)
- $ \text{Ricavo } - \text{ Costo } = - \text{ Perdita}$ (se la differenza è un numero negativo)
- $\text{Peso Netto }+ \text{ Tara } = \text{ Peso Lordo}$
- $\text{Prezzo di Listino } - \text{ Sconto } = \text{ Prezzo Pagato}$
- $\text{Peso della merce alla partenza } - \text{ Calo durante il viaggio } = \text{ Peso della merce a destino}$
L’elenco riporta solo le formule più frequenti in questo tipo di problemi, ma non è per nulla esaustivo: spesso durante la risoluzione sarà necessario ricavare una relazione fra grandezze che non fanno parte di nessuna formula preconfezionata.
Risultano pertanto fondamentali la corretta scrittura dei dati e il prestare molta attenzione nell’inserimento della formula da applicare nella prima colonna della matrice FPV.