Il secondo problema assegnato alla maturità del 2013 era un problema di geometria “di ampio spettro”. Nella prima parte si trattava di uno studio di funzione abbastanza classico. Trovato il grafico della funzione assegnata, il problema proseguiva richiedendo allo studente di ricordare alcune nozioni di geometria euclidea e di geometria analitica.
Problema due
Sia f la funzione definita, per tutti gli x reali, da
Si studi f e se ne disegni il grafico Φ in un sistema di coordinate cartesiane Oxy. Si scrivano le equazioni delle tangenti a Φ nei punti P(-2;1) e Q(2;1) e si consideri il quadrilatero convesso che esse individuano con le rette OP e OQ. Si provi che tale quadrilatero è un rombo e si determinino le misure, in gradi e primi sessagesimali, dei suoi angoli.
2- Sia Γ la circonferenza di raggio 1 e centro (0;1). Una retta t, per l’origine degli assi, taglia Γ oltre che in O in un punto A e taglia la retta d’equazione y=2 in un punto B. Si provi che, qualunque sia t, l’ascissa x di B e l’ordinata y di A sono le coordinate (x;y) di un punto di Φ.
3- Si consideri la regione R compresa tra Φ e l’asse x sull’intervallo [0,2]. Si provi che R è equivalente al cerchio delimitato da Γ e si provi altresì che la regione compresa tra Φ e tutto l’asse x è equivalente a quattro volte il cerchio.
4- La regione R, ruotando attorno all’asse y, genera il solido W. Si scriva, spiegandone il perché, ma senza calcolarlo, l’integrale definito che fornisce il volume di W.
In collaborazione con Elia Bombardelli autore del canale youtube LessThan3math