Il primo dei due problemi assegnati nel 2013 toccava i seguenti argomenti: teorema fondamentale del calcolo integrale, funzioni goniometriche, ricerca di massimi e minimi, teorema della media integrale e calcolo del volume di un solido.
Problema Uno
La funzione f è definita da
Per tutti i numeri reali x appartenenti all’intervallo chiuso e limitato [0,9].
1- Si calcolino f’(π) e f’(2π), ove f’ indica la derivata di f
2- Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico Σ di f’(x) e da esso si deduca per quale o quali valori di x, f(x) presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l’andamento di f(x) deducendolo da quello di f’(x)
3- Si trovi il valor medio di f’(x) sull’intervallo [0,2π]
4- Sia R la regione del piano delimitata da Σ e dall’asse x, per x nell’intervallo [0,4]; R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all’asse x hanno, per ciascuna x, area A(x)= 3sen(πx/4). Si calcoli il volume di W.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3math