Una retta nel piano si dice tangente ad un ellisse se l’intersezione tra questi due è data da un unico punto, detto punto di tangenza. Sia $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ l’equazione dell’ellisse in questione, e consideriamo un punto $P$ di coordinate $(x_0; y_0)$ appartenente all’ellisse. L’equazione della generica retta (non verticale) passante per $P$ è data da $y - y_0 = m (x - x_0)$. Dalla defininzione precedente di retta tangente, concludiamo che una retta passante per $P$ è tangente all’ellisse se e solo se il sistema di secondo grado che si ottiene considerando le due equazioni ha un’unica soluzione:$$y - y_0 = m (x - x_0) \text{ è tangente } \ \Leftrightarrow \ \begin{cases} y - y_0 = m (x - x_0) \\ \displaystyle{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1} \end{cases} \text{ ha una sola soluzione.}$$Ricordiamo che l’incognita, in questo caso, è il coefficiente angolare $m$ della retta. Seguendo la teoria generale per questo tipo di sistemi, un’unica soluzione si ottiene quando il $\Delta$ dell’equazione risolvente è pari a zero. Il metodo generale per trovare la tangente ad un dato ellisse in un dato punto è quindi il seguente:
- Mettere a sistema l’equazione dell’ellisse con l’equazione della generica retta passante per il punto
- Trovare l’equazione risolvente
- Imporre che l’equazione risolvente abbia una sola soluzione, ponendo $\Delta = 0$.
C’è anche un altro metodo, detto formula di sdoppiamento: dato un punto $P$ di coordinate $(x_0;y_0)$ appartenente a un ellisse di equazione $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, la retta tangente all’ellisse in $P$ è data dall’equazione$$ \frac{x \ x_0}{a^2} + \frac{y \ y_0}{b^2} = 1$$Si noti la forma particolare dell’ellisse: essa ha centro nell’origine. Non è sempre così, infatti in generale si parla di ellissi traslata.