In questa lezione introduciamo il concetto di serie numerica. Pensiamo di avere una successione numerica $\{ a_n \}$, e di sommarne tutti gli infiniti termini. Si chiama serie numerica della successione $a_n$ questa somma infinita; la notazione è la seguente:$$ \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_n $$che si legge “serie” o “sommatoria per $n$ che va da $0$ a $+ \infty$ di $a_n$”; la successione $a_n$ si chiama spesso termine generale della serie. La lettera $\Sigma$ è la sigma dell’alfabeto greco, la nostra s, che sta ad indicare, appunto, la somma.
Per eseguire questo calcolo si introduce la successione delle somme parziali $s_n$, definita come la somma dei primi $n+1$ termini della successione di partenza, ovvero dei termini della successione sino all’$n-$esimo. In questo modo, $s_0 = a_0$, $s_1 = a_0 + a_1$, e $s_N = \sum_{n=0}^{n=N} a_n$.
Il comportamento o carattere di una serie è legato al limite della successione delle somme parziali. In particolare, si dice che:
- La serie converge a $l$ se $\lim s_n = l$.
- La serie diverge a $+\infty$ se $\lim s_n = + \infty$.
- La serie diverge a $-\infty$ se $\lim s_n = - \infty$.
- La serie è indeterminata se il limite $\lim s_n$ non esiste.
In video vediamo alcuni esempi di ciascun comportamento. Nelle prossime lezioni impareremo a riconoscere alcuni particolari tipologie di serie convergenti, abbastanza famose, come le serie telescopiche o la serie geometrica. Sono anche presenti alcuni criteri per determinare il carattere di una serie.