Ricordando la definizione di successione numerica, ogni successione, in quanto funzione, può ammettere limite. Siccome l’unico punto di accumulazione di $\mathbb{N}$ è $+ \infty$, spesso si parla del limite di una successione (al singolare) e non dei limiti agli estremi del dominio, come si fa con i limiti di una funzione reale di variabilie reale. Si scirve quindi $$ \lim_{n \to + \infty} a_n \ \text{ oppure } \ \lim a_n$$I comportamenti o caratteri di una successione possono essere i seguenti:
- La successione diverge a $ + \infty$, quando $ \lim a_n = + \infty$ .
- La successione diverge a $ - \infty$, quando $\lim a_n = - \infty$.
- La successione converge a $c \in \mathbb{R}$, quando $\lim a_n = c$.
- La successione è indeterminata, quando non assume nessuno dei caratteri precedenti, ossia quando il suo limite $\lim a_n$ non esiste.
Tutte le prorietà ed i teoremi che si usano nel calcolo dei limiti (ad esempio, i limiti notevoli o gli infinitesimi) si possono usare anche nel calcolo dei limiti delle successioni. Attenzione però: mentre l’argomento di una funzione reale di variabile reale è, appunto, un numero reale, le successioni hanno per argomento soltanto numeri naturali.
Il calcolo dei limiti di una successione è strettamente legato al calcolo della somma di una serie numerica.