Una successione numerica o successione di numeri reali è a tutti gli effetti una funzione$$ a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} $$La notazione in uso non è quella tipica delle funzioni, e al posto di $a(n)$, per $n \in \mathbb{N}$, si scrive $a_n$. Così, la successione può essere identificata con l’immagine della funzione $a$, ossia il sottoinsieme di $\mathbb{R}$ $ \{ a_0, a_1, \dots, a_n, \dots \} $ (spesso abbreviato con $\{ a_n \}_{n \in \mathbb{N}}$).
In questa lezione vediamo tutte le proprietà di una successione numerica, che serviranno per poter calcolarne i limiti e che avranno una rilevanza anche in altri ambiti, come ad esempio quando avremo a che fare con le serie numeriche.
In particolare vedremo:
- Quando una successione è limitata, e nello specifico se è limitata inferiormente o superiormente.
- Quando una successione è monotona: (strettamente) crescente o (strettamente) decrescente.
Infine, è importante ricordare che per le successioni non sempre alcune proprietà sono sempre vere, ma solo da un certo punto in poi: in matematica queste proprietà si dicono valide definitivamente. Per la precisione, una certa proprietà si dice valida definitivamente per la successione $\{a_n\}$ se esiste un $N$ tale per cui la proprietà è valida $\forall n \geq N$.