All’interno dell’insieme dei numeri naturali ci sono i numeri pari: questi sono tutti i numeri interi positivi multipli di $2$. Possiamo elencarli uno dopo l’altro: $$2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, \ldots$$Questo è un esempio di successione numerica.
Definizione (intuitiva)
Una successione numerica è un elenco ordinato di numeri reali.
Facciamo alcuni esempi, oltre alla successione dei numeri pari:
- la successione dei multipli di $3$: $$3, 6, 9, 12,15, 18, 21, \ldots$$
- la successione di Fibonacci: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, \ldots$$
- la successione determinata considerando i reciproci delle radici quadrate di un multiplo di $7$: $$\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{21}}, \frac{1}{\sqrt{28}}, \frac{1}{\sqrt{35}}, \ldots$$
Torniamo ad analizzare la successione dei numeri pari. Ciascuno di questi numeri può essere visto come $2 \cdot n$, con $n \in \mathbb{N}$: quindi possiamo assegnare a ciascun numero naturale il suo “corrispondente” numero pari, semplicemente moltiplicandolo per due.
##KATEX##\begin{aligned}1 \ & \xrightarrow{ \qquad \cdot 2 \qquad }\ 2 \\2 \ & \xrightarrow{ \qquad \cdot 2 \qquad} \ 4 \\3 \ & \xrightarrow{ \qquad \cdot 2 \qquad} \ 6 \\4 \ & \xrightarrow{ \qquad \cdot 2 \qquad} \ 8 \\& \qquad \ \vdots &\end{aligned}##KATEX##
Di fatto, stiamo legando ciascun numero naturale a un altro valore numerico: siamo quindi di fronte a una funzione che ha $\mathbb{N}$ come dominio e la successione dei numeri pari come codominio. Possiamo generalizzare quanto sta accadendo, riformulando la nostra definizione.
Definizione (rigorosa)
Una successione numerica è una funzione che ha come dominio l’insieme $\mathbb{N}$ e come codominio un sottoinsieme dell’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$.
In analogia con la definizione che abbiamo dato prima, una successione numerica $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ viene spesso rappresentata direttamente elencando il suo codominio, nel seguente modo:$$a_1, \ a_2, \ a_3, \ a_4, \ldots$$dove con $a_i$ rappresentiamo il numero reale $a(i)$, detto termine generale della successione, che è il numero reale che viene assegnato al numero naturale $i$ dalla funzione $a$. Questo è esattamente quello che abbiamo fatto nell’esempio che abbiamo svolto all’inizio della lezione: abbiamo per prima cosa elencato i numeri pari, per poi vederli come immagine della funzione che a ciascun numero naturale associa il suo doppio.
Una successione numerica $a$ può anche essere indicata con la scrittura $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$, per evidenziare e allo stesso tempo riassumere che ci sono un numero infinito di termini in corrispondenza con $\mathbb{N}$. A volte, se è possibile farlo, al posto della scrittura $a_n$ per il termine generale della successione si preferisce scrivere l’espressione che definisce la funzione $a$. Per esempio:
- nel caso della successione dei numeri pari, possiamo scrivere $(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = (2n)_{n \in \mathbb{N}}$;
- la successione dei multipli di $3$ può essere indicata con $(3n)_{n \in \mathbb{N}}$;
- la successione: $$\frac{1}{\sqrt{7}}, \frac{1}{\sqrt{14}}, \frac{1}{\sqrt{21}}, \frac{1}{\sqrt{28}}, \frac{1}{\sqrt{35}}, \ldots$$può essere riassunta utilizzando la scrittura: $$\left ( \frac{1}{\sqrt{7n}} \right )_{n \in \mathbb{N}}$$
Sottolineiamo che:
- una successione numerica può avere ripetizioni al suo interno (cioè, non è necessario che la funzione che essa rappresenta sia iniettiva);
- non è sempre possibile trovare una espressione per il termine generale di una successione (per esempio, questo non è possibile se prendiamo la successione dei numeri primi);
- spesso si confonde il termine “successione” con il termine “serie”: è importante non cadere in questo tranello, dato che una serie numerica è un altro oggetto matematico (la cui definizione è comunque per certi versi legata alle successioni).
Esempi notevoli di successioni numeriche: progressioni aritmetiche e geometriche
La definizione di successione numerica è molto generica: vale la pena di provare ad analizzare tipologie più specifiche di successioni numeriche.
Definizione
Una progressione aritmetica di ragione $d$ è una successione numerica tale per cui la differenza tra due termini consecutivi è sempre uguale a $d$.
Facciamo alcuni esempi.
- La successione: $$ (a_n)_{n \in \mathbb{N}} = 2, 5, 8, 11, 14, 17, \ldots$$è una progressione aritmetica di ragione $3$. Infatti, per esempio, $2$ e $5$ sono due termini consecutivi e $5-2 = 3$; anche $11$ e $14$ sono due termini consecutivi, e si ha $14-11 = 3$.
- La successione dei numeri pari è una progressione aritmetica con primo termine $a_1 = 2$ e ragione $d=2$.
- La successione: $$ (b_n)_{n \in \mathbb{N}} = 12, 14, 16, 18, 20, \ldots$$è una progressione aritmetica di ragione $2$.
- La successione: $$(c_n)_{n \in \mathbb{N}} = \frac{1}{3}, \frac{7}{3}, \frac{13}{3}, \frac{19}{3}, \frac{25}{3}, \ldots$$è una progressione aritmetica di ragione $2$.
Osservando gli ultimi tre esempi che abbiamo fatto, osserviamo che è possibile avere successioni diverse che hanno però la stessa ragione. Il motivo di questo fatto è che otteniamo progressioni aritmetiche differenti se scegliamo “numeri di partenza” differenti.
In ogni caso, una volta che sappiamo la ragione $d$ di una progressione aritmetica $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ e il primo termine $a_1$, possiamo facilmente determinare il termine generico $a_n$ della progressione considerata, qualunque sia $n$, grazie alla seguente formula:$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$In altre parole una progressione aritmetica è sempre esprimibile con la scrittura: $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \mathbf{(a_1 + (n-1)d)_{n \in \mathbb{N}}}$$per opportuni $a_1, d \in \mathbb{R}$.
Vale la pena di sottolineare che la ragione di una progressione aritmetica non è necessariamente un numero naturale: quindi anche una successione del tipo: $$1, 1+\sqrt{3}, 1+2\sqrt{3}, 1+3\sqrt{3}, \ldots$$è una progressione aritmetica (con ragione $d = \sqrt{3}$ e termine iniziale $a_1 = 1$).
Definizione
Una progressione geometrica di ragione $r$ è una successione numerica tale che il rapporto tra due termini consecutivi sia sempre uguale a $r$.
Facciamo alcuni esempi.
- La successione: $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = 2, 4, 8, 16, 32, 64, \ldots$$è una progressione geometrica di ragione $2$. Infatti, per esempio, $4$ e $8$ sono termini consecutivi e $\frac{8}{4} = 2$; allo stesso modo, $16$ e $32$ sono termini consecutivi e $\frac{32}{16} = 2$.
- La successione: $$(b_n)_{n \in \mathbb{N}} = \frac{2}{3}, 2, 6, 18, 54 \ldots$$è una progressione geometrica di ragione $3$.
- La successione: $$(c_n)_{n \in \mathbb{N}} = 4, 4, 4, 4, 4, \ldots$$è una progressione geometrica di ragione $1$.
Come accadeva per le progressioni aritmetiche, possiamo ottenere differenti progressioni geometriche che abbiano la stessa ragione $r$: la differenza sta nel primo termine che si sceglie per la successione.
Inoltre, è possibile mostrare che è il termine generico $a_n$ di una progressione geometrica è dato dalla seguente formula: $$a_n = a_1r^{n-1}$$dove $a_1$ è il primo termine della progressione, $r$ è la ragione della progressione e $n \in \mathbb{N}$. Quindi, una progressione geometrica è sempre esprimibile con la scrittura: $$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} = \mathbf{(a_1r^{n-1})_{n \in \mathbb{N}}}$$per opportuni $a_1, r \in \mathbb{R}$.
Anche per le progressioni geometriche non imponiamo nessuna restrizione al valore che può assumere $r$: quindi anche la successione: $$\sqrt[3]{4}, \sqrt[3]{16}, 4, \sqrt[3]{256}, \sqrt[3]{1024}, \ldots$$è una progressione geometrica (con ragione $d = \sqrt[3]{4}$).