Quando vogliamo calcolare il prodotto tra due numeri naturali più piccoli di $10$ in genere si ricorre alle tabelline: per esempio, la tabellina del tre è l’elenco dei risultati delle moltiplicazioni tra $3$ e tutti i numeri che stanno tra $1$ e $10$.
La tavola pitagorica è, sostanzialmente, un riassunto di tutte le tabelline. Questa tavola è infatti una tabella di numeri contenente tutti i possibili risultati di una moltiplicazione tra due numeri naturali più piccoli di $10$. Eccola qui:
| $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $7$ | $8$ | $9$ | $10$ |
| $2$ | $4$ | $6$ | $8$ | $10$ | $12$ | $14$ | $16$ | $18$ | $20$ |
| $3$ | $6$ | $9$ | $12$ | $15$ | $18$ | $21$ | $24$ | $27$ | $30$ |
| $4$ | $8$ | $12$ | $16$ | $20$ | $24$ | $28$ | $32$ | $36$ | $40$ |
| $5$ | $10$ | $15$ | $20$ | $25$ | $30$ | $35$ | $40$ | $45$ | $50$ |
| $6$ | $12$ | $18$ | $24$ | $30$ | $36$ | $42$ | $48$ | $54$ | $60$ |
| $7$ | $14$ | $21$ | $28$ | $35$ | $42$ | $49$ | $56$ | $63$ | $70$ |
| $8$ | $16$ | $24$ | $32$ | $40$ | $48$ | $56$ | $64$ | $72$ | $80$ |
| $9$ | $18$ | $27$ | $36$ | $45$ | $54$ | $63$ | $72$ | $81$ | $90$ |
| $10$ | $20$ | $30$ | $40$ | $50$ | $60$ | $70$ | $80$ | $90$ | $100$ |
Come si usa la tavola pitagorica?
Il metodo corretto per utilizzare la tavola pitagorica è il seguente: se vogliamo sapere il risultato della moltiplicazione tra un numero naturale $a$ e un numero naturale $b$, dobbiamo andare a vedere qual è il numero presente all’incrocio della riga $a$ e della colonna $b$. Per esempio, se vogliamo sapere quanto fa $5 \times 6$, dobbiamo andare a guardare l’elemento che c’è all’incrocio tra la quinta riga e la sesta colonna, che è $30$: quindi possiamo dire che $5 \times 6 = 30$.
Dopo aver dato uno sguardo alla tabella, ci si accorge subito che i numeri sono disposti in maniera simmetrica rispetto alla diagonale di numeri che va da in alto a sinistra a in basso a destra. Questa proprietà è conseguenza di un’importante proprietà che la moltiplicazione soddisfa: la proprietà commutativa.
Grazie a quest’ultima osservazione ci accorgiamo quindi che, se vogliamo scoprire il risultato di $a \times b$, possiamo guardare due elementi diversi:
- il numero che c’è all’incrocio della riga $a$ con la colonna $b$;
- il numero che c’è all’incrocio della riga $b$ con la colonna $a$.
Tornando all’esempio che abbiamo fatto poco fa, infatti, notiamo che il numero presente all’incrocio tra la sesta riga e la quinta colonna è ancora $30$, a riconferma del fatto che $5 \times 6 = 30$.
Come avevamo anticipato all’inizio della lezione, la tavola pitagorica contiene al suo interno tutte le tabelline. Infatti ciascuna riga e ciascuna colonna della tavola pitagorica contiene al suo interno la tabellina del numero corrispondente alla riga o colonna scelta. Per esempio, consideriamo la sesta riga:
| $6$ | $12$ | $18$ | $24$ | $30$ | $36$ | $42$ | $48$ | $54$ | $60$ |
Questi numeri sono in effetti i dieci numeri della tabellina del sei. Inoltre, se leggiamo la sesta colonna dal basso verso l’alto, otteniamo di nuovo gli stessi numeri.
È anche interessante notare che i numeri presenti sulla diagonale che va da in alto a sinistra a in basso a destra sono i quadrati perfetti dei primi dieci numeri naturali.
La tavola pitagorica potrebbe essere ampliata indefinitamente, considerando il prodotto di numeri naturali anche più grandi di $10$; tradizionalmente, però, questa tabella ha solamente dieci righe e dieci colonne.
Nel caso si avesse a che fare con un altro “tipo di moltiplicazione” diversa da quella tra numeri naturali (come per esempio alla moltiplicazione definita per altre strutture algebriche) si può costruire un analogo della tavola pitagorica, che però prende il nome più generico di tavola moltiplicativa.