Le trasformazioni di Lorentz e la teoria della relatività ristretta di Einstein

Il 1905 è stato un anno molto importante per la Fisica. Esso ha visto nascere una vera e propria rivoluzione scientifica grazie alla formulazione, da parte di Albert Einstein, della cosiddetta “Teoria della Relatività (ristretta, o speciale)”.  

Questa teoria - che si è successivamente dimostrata rivoluzionaria - parte dalla generalizzazione delle trasformazioni di coordinate di Galileo, che in Meccanica servono per passare da un sistema di riferimento ¹ (in genere fisso) a un altro (in genere mobile): le ricapitoliamo qui, inizialmente a due dimensioni, ossia nel piano cartesiano $(x,y)$. Il calcolo delle formule sarà effettuato per semplicità a una dimensione (coinvolgendo soltanto l’asse $x$).

Supponiamo di essere in un SR fisso $O_{xy}$, ossia in un piano cartesiano con origine in O e assi coordinati $x$ e $y$. Un punto materiale ha in questo SR le coordinate $\vec{r} = (x,y)$. Supponiamo ora di voler convertire queste coordinate nelle coordinate $\vec{r}’ = (x’,y’)$ che il punto materiale possiede in un SR di origine $\Omega$ che si muove rispetto a quello fisso con velocità costante $v_{\Omega}$ diretta lungo l’asse x (vedi Fig.1).  

Le trasformazioni che legano le coordinate del punto nei due sistemi di riferimento sono dette trasformazioni di Galileo (o galileiane), e a una dimensione hanno la seguente espressione:$$\begin{cases}\displaystyle{ x’ = x - v_{\Omega} t} \\\displaystyle{ t’ = t} \end{cases} \qquad (1)$$

Applicazione 1
Capire subito “come funzionano” le trasformazioni galileiane è importante e allo stesso tempo semplice. $x’$ è la coordinata di un punto qualsiasi vista nel SR mobile. Prendiamo… l’origine del SR mobile $\Omega$! Essa nel SR mobile ha coordinata $x’_{\Omega} = 0$. Ponendo quindi nell’equazione $(1)$ $x’_{\Omega} = 0$ si ottiene la coordinata dell’origine $\Omega$ nel SR fisso: $x_{\Omega}(t) = v_{\Omega} t$, che è la legge oraria di un moto rettilineo uniforme nonché esattamente quel che ci aspettiamo: chi è a terra vede l’origine del sistema mobile muoversi lungo l’asse $x$ con velocità costante nel tempo $v_{\Omega}$. 

Si noti che compare anche il tempo nella trasformazione ($t’=t$). Siccome stare a terra o stare in moto non modifica la lettura del tempo su di un orologio, essi sono ovviamente uguali: nessuno si sognerebbe mai di dire che due eventi simultanei per una persona a terra non lo siano per una persona in movimento! 

Inoltre, derivando rispetto al tempo la $(1)$, si ottiene la relazione che lega la velocità del punto nel SR fisso ($v_x$) a quella nel sistema mobile ($v’_{x’}$), ossia$$v’_{x’} = v_x - v_{\Omega} \qquad (2)$$Questa formula è molto significativa. Essa, portando $v_{\Omega}$ all’altro membro nella prima equazione, ci dice che la velocità di un corpo rispetto a terra è uguale alla somma della velocità del corpo rispetto al SR mobile più la velocità del sistema mobile stesso rispetto a terra. In parole povere, le velocità si sommano! 

Praticamente, questa formula spiega perché se camminiamo sulle scale mobili, un osservatore che sta a terra ci vede andare più veloci rispetto a un osservatore che si trova anche lui sulle stesse scale. Oppure, quando incrociamo una macchina che ci viene incontro, essa ci appare andare più veloce rispetto al caso in cui fossimo fermi sull’asfalto a vederla passare. Il concetto di moto è quindi strettamente relativo al SR in cui siamo. 

Applicazione 2  

Supponiamo di stare in una macchina che si muove lungo l’asse $x$ con velocità di $35$ km/h rispetto a terra e di incrociare una macchina che ci viene incontro con velocità $45$ km/h. Qual è la velocità della seconda macchina rispetto a noi che siamo nella prima macchina? La risposta è semplice. In questo caso noi siamo il SR mobile, la cui velocità rispetto a terra è  $v_{\Omega} = 35$ km/h. La velocità della seconda macchina rispetto a terra è $v_x = - 45$ km/h ed è negativa perché ci viene incontro. Risultato: $v’_{x’} = v_x - v_{\Omega} = - 45 - 35$ km/h = $- 80$ km/h!!  

Le velocità, quindi, si sommano. Questa conseguenza delle trasformazioni Galileiane, se la applicassimo alla velocità della luce $c = 299792458$ m/s, ci direbbe che anch’essa dipende dal SR in cui siamo. Non è questo il caso, però, come insegna l’esperimento di Michelson-Morley. I due scienziati dimostrarono nel 1887 che la velocità della luce è la stessa in tutti i sistemi di riferimento. Questa “buffa” situazione, ben lontana dall’intuito e dal senso comune, rende immediatamente non più valide le trasformazioni di Galileo se applicate a corpi che si muovono a velocità “altissime” (ossia, prossime alla velocità della luce). 

Il genio di Einstein arriva adesso, dimostrando che le sole trasformazioni in grado di mantenere costante la velocità della luce in ogni SR sono le cosiddette trasformazioni di Lorentz. Esattamente come nel caso di Galileo, consideriamo un SR che si muove rispetto a terra con velocità $v_{\Omega}$ lungo l’asse $x$.  

Le trasformazioni di Lorentz, che sostituiscono quelle di Galileo, sono le seguenti: $$ \begin{cases} \displaystyle{ x’ = \gamma \left(x – v_{\Omega} t\right)} \\\displaystyle{ t’ = \gamma \left(t - \frac{v_{\Omega}}{c^2} x\right) }\end{cases} \qquad (3)$$Nelle equazioni precedenti, $$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} \qquad (4) $$è un fattore sempre $> 1$ (vedi Fig.2).

Bisogna osservare due cose molto importanti. La prima è che, per $v_{\Omega}/c \ll 1$ (ossia per velocità piccole) si può mostrare che il fattore $\gamma \to 1$, $v_{\Omega}/c \to 0$ e le trasformazioni di Lorentz diventano in questo limite esattamente le trasformazioni di Galileo. Al contrario, se il SR mobile che stiamo considerando si muove con una velocità paragonabile a quella della luce, il fattore $\gamma$ diventa sempre più influente all’avvicinarsi di $v_{\Omega} \to c$. 

La seconda cosa è che il tempo interviene nelle trasformazioni (ricordate $t’=t$?), in particolare $x’$ dipende da $t$ e, allo stesso modo, $t’$ dipende da $x$. Spazio e tempo si mescolano, quindi. Perché? Per far sì che la velocità della luce sia costante in ogni SR. Si può mostrare che questo è vero, derivando le $(3)$ rispetto al tempo. Si ottiene$$v_x = \frac{v'_{x'} + v_{\Omega}}{1 + v_{\Omega} v'_{x'}/c^2} \qquad (5) $$

Applicazione 3  
Applichiamo le trasformazioni di Lorentz alla velocità della luce, ossia vediamo – data la velocità della luce pari a $c$ in un SR mobile – quanto essa vale rispetto al SR di terra. Basta sostituire nella $(5)$ $v’_{x’} = c$. Sostituendo, si ottiene $v_x = c$, che è esattamente quel che ci aspettavamo. Si noti che questa particolare “coincidenza” vale soltanto per $c$. 

La portata di questa rivoluzione concettuale è enorme. Nell’immediato, le due principali conseguenze di queste “bislacche” trasformazioni sono la contrazione delle lunghezze e la dilatazione dei tempi. Mi spiego meglio.

Supponiamo di stare a terra, nel SR fisso, e di misurare la lunghezza di un righello all’istante $t$. Cioè, all’istante $t$ misuro i due estremi del righello $x_1$ e $x_2$ nel SR fisso $O_{xy}$. La lunghezza del righello nel sistema fisso sarà, ad esempio,quindi##KATEX##\begin{equation} L = x_2 - x_1 = 30 \,\, {\rm cm} \end{equation}##KATEX##Proviamo a misurarla nel SR mobile $O’_{x’y’}$. Convertiamo la misurazione con le trasformazioni di Lorentz. Otteniamo##KATEX##\begin{equation} L’ = x’_2 - x’_1 = \gamma (x_2 - x_1) = \gamma L \end{equation}##KATEX##la parte col tempo si cancella perché $t_1 = t_2$ (nel SR fisso i due estremi vengono misurati allo stesso istante – prestate molta attenzione a questo punto).

Abbiamo ottenuto quindi la rivoluzionaria scoperta che##KATEX##\begin{equation} L = \frac{1}{\gamma} L’ \end{equation}##KATEX##ovvero, per un osservatore nel sistema fisso la lunghezza del righello è più corta (essendo $\gamma > 1$ allora $1/\gamma < 1$) rispetto a un osservatore che si muove assieme al righello. 

Analogamente, vediamo cosa succede a un intervallo di tempo. Supponiamo di stare a terra, fermi nella stessa posizione ($x_1 = x_2$), e di misurare un intervallo di tempo $T = t_2 - t_1$. Vediamo con le trasformazioni di Lorentz che relazione c’è con lo stesso intervallo di tempo misurato da un osservatore in movimento con velocità $v$ lungo l’asse $x$. Dalle $(3)$ si ottiene##KATEX##\begin{equation} t_2 - t_1 = \frac{t'_2 - t'_1}{\sqrt{1 - (v_{\Omega}/c)^2}} \end{equation}##KATEX## ovvero ##KATEX##\begin{equation} T = \frac{T’}{\sqrt{1 - (v_{\Omega}/c)^2}} \end{equation}##KATEX##il che significa che, per un osservatore nel sistema fisso l’intervallo di tempo risulta maggiore rispetto a un osservatore che si trova nel SR mobile. 

La teoria della relatività speciale scardina quindi le idee, basate sul senso comune, che concetti come la lunghezza di un righello o un intervallo di tempo siano assoluti, ossia indipendenti dal SR in cui essi vengono misurati. Questo “senso comune” si è naturalmente formato perché noi in generale non interagiamo con persone che viaggiano rispetto a noi con velocità prossime a quella della luce. La rivoluzione di Einstein è consistita nell’avere la visionarietà di astrarre il senso comune dell’epoca, pervenendo a questa conclusione del tutto inaspettata e sorprendente. 

Un ultimo aspetto che vorrei trattare e che ci toglie letteralmente il terreno dai piedi è la modifica del concetto di simultaneità. Questo concetto va affrontato con calma. Ricordate quando vi dicevo di prestare attenzione al fatto che gli estremi del righello venivano misurati allo stesso istante? Bene. Quel che adesso vedremo è che, se nel SR fisso due eventi sono simultanei, essi non lo sono in generale per il SR mobile. 

Bisogna fare un’importante osservazione prima di andare avanti. La Relatività ristretta è stata formulata da Einstein per far sì che le leggi dell’elettromagnetismo (che hanno come parametro cruciale la velocità della luce c) fossero valide in ogni SR. In altre parole – e nello stesso spirito della relatività galileiana – tutti i sistemi di riferimento sono equivalenti o, equivalentemente, non esiste alcun sistema di riferimento privilegiato. Democrazia dei sistemi di riferimento! Questo ha una conseguenza molto interessante, che introdurremo attraverso la risoluzione del paradosso della macchina nel garage (anche detto “della scala nel garage”).

Consideriamo una macchina che si muove con velocità $v$ rispetto a un sistema fisso, in direzione di un garage lungo $L_{\rm g} = 3$ m (sempre rispetto a terra). Il garage ha due porte, in corrispondenza delle sue estremità sinistra e destra. La lunghezza della macchina viene misurata “a riposo”, ossia in un SR ove la macchina è ferma (il SR mobile, in questo caso) e il risultato è $L’ = 5$ m. Per chi si trova sulla terraferma la lunghezza della macchina è contratta supponiamo del fattore $\gamma = 2$ ², quindi risulta $L = 2.5$ m. Chi è sulla terraferma vede quindi una macchina lunga 2.5 m che entrerà senza problemi in un garage di 3 m. Presso questo garage lavora un garagista che, nel momento in cui la macchina è completamente entrata nel garage ³, chiude simultaneamente le due porte del garage e immediatamente le riapre, in maniera da non ostacolare il moto della macchina.  

Lo schema di ciò che accade nel SR fisso è quindi il seguente: 

Tabella 1 – Storyboard SR fisso: 

1. La macchina (più corta) si avvicina alla porta sinistra del garage; 
2. La macchina è completamente nel garage; 
3. Si chiudono (e si riaprono subito) le porte; 
4. La macchina procede fino a uscire dalla porta destra del garage. 

Da come è stata formulata la relatività ristretta e soprattutto dall’equivalenza dei sistemi di riferimento deriva la seguente conclusione: per noi che siamo a terra il garage misura 3 m e la macchina (che è in movimento) 2.5 m. Tuttavia, proprio perché nessun sistema di riferimento è privilegiato, in particolare quello fisso rispetto a quello mobile, facciamo lo stesso ragionamento nel SR mobile. In questo SR la macchina misura 5 m (lunghezza a riposo) ma il garage, che ora si muove verso la macchina con velocità $-v$ ⁴, è lungo 1.5 m!!! Come può la macchina entrarci, adesso? 

Questo paradosso apparente deriva proprio dalla simmetria delle trasformazioni di Lorentz e dall’equivalenza dei sistemi di riferimento. La chiave della risoluzione risiede nel fatto che anche il concetto di simultaneità diventa relativo al SR. Cioè: due eventi simultanei per il SR “fisso” (e qui entrano le virgolette perché i sistemi di riferimento, in relatività, sono tutti equivalenti) non lo sono, in generale, per il SR mobile. 

Fissiamo un po’ di indici: 1 $\to$ chiusura della porta sinistra del garage; 2 $\to$ chiusura della porta destra del garage. Si ricordi che alla chiusura di una porta segue la sua immediata riapertura. Dalle $(3)$ derivano le due relazioni seguenti ⁵: $$ t'_1 = \gamma \left( t - \frac{-v}{c^2} x_1 \right) \qquad (6)$$da cui deriva che$$ t'_1 = t'_2 + \gamma \, \frac{v}{c^2} \, \left( x_2 - x_1 \right) \qquad (7) $$In particolare dalla $(7)$ si capisce che i due eventi 1 e 2, che nel sistema fisso sono simultanei, cessano di esserlo nel sistema mobile. Precisamente, l’Eq. $(7)$ dice che l’evento 1 (chiusura della porta sinistra) è successivo all’evento 2 (chiusura della porta destra). Quel che succede nel SR mobile è quanto segue:   

N.B.: il garage ha inizialmente le porte aperte! 

Tabella 2: Storyboard SR mobile 

1. Il garage (più piccolo della macchina) arriva verso la macchina con velocità $-v$; 
2. La macchina inizia a entrare nel garage e si avvicina alla porta destra di quest’ultimo; 
3. Si chiude (e si riapre subito) la porta destra in prossimità dell’estremo destro della macchina; 
4. Il garage continua a scorrere lungo la macchina finché la sua porta sinistra non arriva in prossimità dell’estremità sinistra della macchina; 
5. Si chiude (e si riapre subito) la porta sinistra del garage; 
6. Il garage si allontana dalla macchina. 

Si noti che questo è la traduzione nel SR mobile di quel che succede nel SR fisso. Ciò che lo fa effettivamente risultare “strano” è che il nostro senso comune non è abituato a classificare come “normali” trasformazioni di coordinate che coinvolgano sia lo spazio che il tempo – come quelle di Lorentz ⁶ – e che hanno le conseguenze appena viste. So che continuerete a dire “si, ma il garage è più piccolo: come fa a entrarci la macchina”? Il punto è proprio questo: se per “entrare” intendiamo che la macchina deve essere contenuta nel garage e le due porte devono chiudersi simultaneamente anche nel SR mobile, stiamo facendo un errore: la macchina non può entrare chiaramente nel garage in questo senso (è più lunga del garage nel SR mobile) ma allo stesso tempo la contraddizione non sussiste perché questa situazione non è la traduzione con le trasformazioni di Lorentz di quella di partenza! Abbiamo visto, infatti, che se nel SR fisso le porte si chiudono simultaneamente, esse nel SR mobile non si chiudono più simultaneamente. Se invece adottiamo l’approccio (corretto) di usare le trasformazioni di Lorentz per tradurre le coordinate spaziali e temporali di un evento da un SR ad un altro, allora otteniamo che la traduzione relativistica di “la macchina entra” dal SR fisso a quello mobile è esattamente lo storyboard contenuto in Tabella 2.