Quando il flusso di un campo magnetico attraverso un circuito subisce una variazione nel tempo, sappiamo dalla legge di Faraday che il circuito si vedrà attraversato da una corrente elettrica. Questo avviene qualunque sia la causa specifica: per esempio lo spostamento di un magnete permanente, la variazione della corrente che scorre in un elettromagnete, oppure lo spostamento del circuito stesso.
Dal punto di vista dei campi elettrico e magnetico, questo fatto si può interpretare nel seguente modo: un campo magnetico che varia nel tempo produce un campo elettrico nello spazio circostante. Il campo elettrico, infatti, provvederà ad accelerare gli elettroni di conduzione presenti nel circuito, producendo corrente elettrica. Un campo costante nel tempo si dice “stazionario”, quindi campi che variano nel tempo si dicono “non stazionari”.
D’altro canto, ci si può chiedere se valga il contrario: un campo elettrico non stazionario produce, nello spazio attorno a sé, un campo magnetico?
A dare una risposta a questo interrogativo fu James Clerk Maxwell (1831 - 1879), scienziato scozzese che si interrogò profondamente sulle relazioni che intercorrono tra campo elettrico e campo magnetico. Egli riflettè innanzitutto su che cosa succede attorno ad un condensatore durante il processo necessario a caricarlo: le armature del condensatore sono separate dal dielettrico, uno strato di materiale isolante che impedisce il passaggio di corrente elettrica. Nonostante questo, per il processo di induzione elettrostatica, le armature si “caricano”, aumentando la quantità della carica elettrica presente su di esse. Di conseguenza, il campo elettrico $\vec{E}$ all’interno del condensatore si fa più intenso. Contemporaneamente, pur non avvenendo passaggio di corrente nel condensatore, attorno ad esso si registrano gli effetti di un campo magnetico: Maxwell chiamò corrente di spostamento tale campo elettrico variabile nel tempo, poichè stabilì che, dal punto di vista delle interazioni magnetiche, esso aveva un effetto indistinguibile da una corrente elettrica.
L’intuizione di Maxwell era che le interazioni reciproche tra campo elettrico e campo magnetico potessero essere spiegate da un’unica teoria. Sulla base di queste convinzioni, egli formulò quattro famose equazioni, chiamate in suo onore equazioni di Maxwell, che spiegano completamente tutti questi fenomeni: queste equazioni sono il punto di massimo sviluppo dell’elettrodinamica classica.
Le equazioni di Maxwell riguardano due aspetti del campo elettrico e magnetico, e sono dunque quattro. Il primo aspetto da indagare è il flusso di uno dei due campi attraverso una superficie chiusa, mentre l’altro aspetto è legato alla circuitazione del campo in questione lungo una linea chiusa (cioè un circuito). Le equazioni di Maxwell sono quindi le seguenti.
- La prima equazione riguarda il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa:$$\Phi_{\mathcal{S}} (\vec{E}) = Q_{\text{int}}$$Nella formula precedente, $\mathcal{S}$ è la superficie chiusa, $\Phi_{\mathcal{S}} \left(\vec{E}\right)$ è il flusso di $\vec{E}$ attraverso di essa e $Q_{\text{int}}$ è la carica elettrica interna alla superficie $\mathcal{S}$. Questo risultato va sotto il nome di teorema di Gauss per il campo elettrico.
- La seconda equazione concerne la circuitazione del campo elettrico lungo una linea chiusa:$$ \oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d \vec{s} = - \frac{\Delta \Phi \left(\vec{B}\right)}{\Delta t}$$In questa espressione, $\Gamma$ è il circuito che prendiamo in considerazione, mentre il simbolo $\oint \dots \cdot d \vec{s}$ indica l’integrale (curvilineo) lungo una curva chiusa, detto anche circuitazione; il campo elettrico è indicato da $\vec{E}$. $\Phi (\vec{B})$ è il flusso del campo magnetico $\vec{B}$ che attraversa la superficie racchiusa dal circuito, ed il rapporto $\frac{\Delta \Phi (\vec{B})}{\Delta t}$ esprime la sua variazione in un intervallo di tempo di durata $\Delta t$. Questa equazione può essere ricavata a partire dalla legge di Faraday-Lentz.
- La terza equazione parla del flusso del campo magnetico attraverso una superficie chiusa:$$\Phi_{\mathcal{S}} \left(\vec{B}\right) = 0$$Come per la prima equazione, $\mathcal{S}$ rappresenta la superficie chiusa e $\Phi_{\mathcal{S}} (\vec{B})$ è il flusso di $\vec{B}$ attraverso di essa. Il fatto che questo flusso sia pari a $0$ è collegato al fatto che non è possibile creare un monopolo magnetico, ossia un magnete dotato di un unico polo, o positivo o negativo.
- La quarta equazione, infine, esprime la circuitazione del campo magnetico lungo una linea chiusa. Per descrivere l’equazione è necessario introdurre il concetto di corrente concatenata: data una curva chiusa $\Gamma$ che racchiude una superficie $\mathcal{S}$, si definisce corrente concatenata a $\Gamma$ una qualsiasi corrente $i$ che attraversi la superficie. A questo punto, possiamo illustrare la quarta equazione di Maxwell:$$\oint_{\Gamma} \vec{B} \cdot d \vec{s} = \mu_0 \left(\Phi \left( i \vec{v} \right) + \varepsilon_0 \frac{\Delta \Phi (\vec{E})}{\Delta t} \right)$$Ancora una volta, $\oint_{\Gamma} \dots \cdot d \vec{s}$ sta ad indicare la circuitazione lungo $\Gamma$, che è il nostro circuito, e le varie $\Phi$ significano flussi attraverso $\mathcal{S}$: $ \Phi (\vec{E})$ è il flusso attraverso la superficie racchiusa da $\Gamma$ del campo elettrico (o meglio della corrente di spostamento, secondo la dicitura di Maxwell), e, come prima, il rapporto $\frac{\Delta \Phi (\vec{E})}{\Delta t}$ esprime la sua variazione in un intervallo di tempo di durata $\Delta t$. Ma in questa equazione compare anche $i$, che è l’intensità della corrente concatenata a $\Gamma$, e $\vec{v}$, che è la velocità di spostamento media dei portatori di carica prodotta dalla corrente $i$: $\Phi ( i \vec{v})$ è quindi il flusso della corrente concatenata attraverso $\mathcal{S}$. I simboli $\varepsilon_0$ e $\mu_0$ sono, rispettivamente, la costante dielettrica e diamagnetica del vuoto. Questa equazione è la più sottile e complicata delle equazioni di Maxwell, ed infatti venne dedotta per ultima (nel 1861) da Maxwell stesso, anche se una prima forma di questa espressione, in cui il flusso del campo elettrico era stazionario, venne scoperta da Ampére nel 1826.
Riassumiamo qui di seguito le equazioni di Maxwell in una tabella:##KATEX##\begin{aligned}& & & \text{Flusso} & & \text{Circuitazione} \\&\vec{E} & & \Phi_{\mathcal{S}} (\vec{E}) = Q_{\text{int}} & & \oint_{\Gamma} \vec{E} \cdot d \vec{s} = - \frac{\Delta \Phi (\vec{B})}{\Delta t} \\&\vec{B} & & \Phi_{\mathcal{S}} (\vec{B}) = 0 & & \oint_{\Gamma} \vec{B} \cdot d \vec{s} = \mu_0 \left(\Phi \left( i \vec{v} \right) + \varepsilon_0 \frac{\Delta \Phi (\vec{E})}{\Delta t} \right) \\\end{aligned}##KATEX##Si presti attenzione che le precedenti equazioni sono vere nel vuoto. Qualora campi elettrici o magnetici attraversino la materia, si andrebbe incontro a fenomeni di polarizzazione elettrica e magnetica, il che modifica considerevolmente tali equazioni: tale forma introduce molte nuove grandezze fisiche, che non è il caso di elencare in questa sede.
Quel che ci preme sottolineare è un’altra cosa: sebbene Maxwell dedusse le equazioni che portano il suo nome per descrivere i campi elettrico e magnetico, possiamo invertire la prospettiva e considerarle come delle equazioni (molto complicate) in cui le incognite sono i campi $\vec{E}$ e $\vec{B}$. Una particolare soluzione delle equazioni fornirà l’espressione per i campi considerati.
In quest’ottica, molti scienziati dell’epoca si accinsero a trovare soluzioni di forma particolare, per dare vita a campi elettromagnetici dal comportamento bizzarro, e studiarne le proprietà da un punto di vista teorico. Molto presto però ci si accorse che, fra le varie soluzioni possibili, ve ne era una che rappresentava campo elettrico e magnetico come onde: le soluzioni prescrivono che il campo elettrico $\vec{E}$ oscilli nel tempo come un oscillatore armonico, e che ad esso sia accoppiato un campo magnetico $\vec{B}$, il quale oscilla in fase con $\vec{E}$ su di un piano ad esso perpendicolare. Un profilo di una soluzione di questo tipo è illustrato nella figura seguente:
La scoperta delle onde elettromagnetiche segnò una vera e propria rivoluzione culturale, aprendo la strada ad applicazioni tecnologiche di comunicazione senza fili (prima tra tutte la radio) che trasformarono profondamente la società e l’economia mondiale.
Crediti immagine: ploufandsplash https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Onde_electromagn%C3%A9tique.png
