La prima legge di Ohm dice che la corrente che attraversa un conduttore è costante nel tempo e direttamente proporzionale al potenziale elettrico applicato ai suoi capi$$V=RI$$Se però ci fermiamo a riflettere c’è qualcosa che non quadra. Sappiamo infatti che la presenza della differenza di potenziale si traduce nell’esistenza di un campo elettrico $\vec{E}$ che, per semplicità, possiamo considerare costante all’interno del conduttore. Ma una carica elettrica $q$ immersa in un campo elettrico è soggetta ad una forza $\vec{F}$ pari al prodotto del valore stesso della carica moltiplicata per il campo: $\vec F = q \vec E$. Gli elettroni di conduzione del conduttore, sottoposti a questa forza, dovrebbero quindi subire un’accelerazione (costante), in conseguenza delle leggi della dinamica, e quindi la loro velocità di spostamento all’interno del conduttore (che chiameremo $v$) dovrebbe costantemente aumentare nel tempo: si dovrebbero muovere di moto rettilineo uniformemente accelerato.
La velocità di spostamento degli elettroni di conduzione all’interno di un conduttore può anche essere ricavata dalla definizione stessa di corrente elettrica. Assumiamo infatti che per definizione la corrente elettrica $I$ sia il passaggio di una certa quantità di carica elettrica $\Delta q$, attraverso un conduttore, in un intervallo di tempo di durata $\Delta t$:$$ I = \frac{\Delta q}{\Delta t}$$Ora facciamo alcune considerazioni sul nostro conduttore. Innanzitutto, supponiamo di considerarne un certo volume $V$: se $S$ è l’area della sezione del conduttore ed $l$ la misura della sua lunghezza, otteniamo che $V = S \ l$. Ogni conduttore dispone di un certo numero di elettroni di conduzione per unità di volume: chiamiamo $n$ questo numero. Infine, sappiamo che ogni elettrone ha carica $-e = -1.602 176 53 \ 10^{-19} \text{ C}$. In ogni unità di volume sarà presente quindi una carica elettrica $q$ pari a $q = n \ e$; per un volume $V$, la carica in esso contenuto sarà pari quindi a $q \cdot V$. La velocità di spostamento di ogni singolo elettrone di conduzione, $v$, sarà pari al rapporto tra spostamento effettuato $\Delta l$ ed la durata dell’intervallo di tempo $\Delta t$: $v = \frac{\Delta l}{\Delta t}$. La seguente illustrazione riassume tutte queste considerazioni:
Riscriviamo ora la definizione di corrente elettrica alla luce di queste considerazioni: $$ I = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{\Delta (n e) (S \ l)}{\Delta t} = n e \ S \frac{\Delta l}{\Delta t} = ne \ S \ v$$Nella catena di uguaglianze precedenti, abbiamo supposto che la quantità $n$ di elettroni di conduzione per unità di volume rimanga costante nel tempo, così come non cambi l’area $S$ della sezione del conduttore (la carica dell’elettrone, grazie al cielo, non può cambiare). Ad ogni modo, mettendo in evidenza il primo e l’ultimo membro di quelle uguaglianze, vediamo come la corrente elettrica $I$ è direttamente proporzionale alla velocità di spostamento degli elettroni di conduzione $v$: $I \sim v$.
Quindi affermare, come fa la legge di Ohm, che la corrente rimane costante è come dire che $v$ rimane costante, in piena contraddizione con quanto sappiamo del moto delle cariche elettriche in un campo elettrico costante. Si tratta forse di un paradosso inestricabile?
La fisica classica fornisce una spiegazione piuttosto semplice, convincente e valida in prima approssimazione. La descrizione esatta richiederebbe l’impiego della meccanica quantistica, ma va oltre i nostri scopi al momento. La situazione è vagamente simile a quella dei corpi in caduta libera in atmosfera: quando un oggetto cade in aria, nel giro di pochi secondi smette di accelerare e finisce col muoversi a velocità costante per effetto dell'attrito dell'aria. In modo più o meno analogo gli elettroni vengono effettivamente accelerati dalla differenza di potenziale ma urtano continuamente contro gli ioni che formano il reticolo cristallino del conduttore:
Questi scontri fermano di tanto in tanto la corsa degli elettroni, arrestandone continuamente l'accelerazione. Il risultato netto è che, malgrado gli elettroni modifichino continuamente la propria velocità, il valore medio $v$ di quest’ultima, e di conseguenza la corrente prodotta $I$, rimane costante.