caduta dei gravi

Ciao Calogero! Innanzitutto mi scuso per la risposta un po' tardiva. Vengo subito al punto: per rispondere alla domanda che hai posto mi mancano dei dati, nello specifico: il raggio del corpo celeste "grosso", e il valore del coefficiente di attrito viscoso provocato dall'aria (il quale tra l'altro varia a seconda della forma del grave). Ti propongono la mia soluzione, in cui per semplicità useremo il valore del raggio medio terrestre di $6,371 \ 10^{6} \text{ m}$ e di coefficiente d'attrito dell'aria nell'atmosfera terrestre a $20^\circ \text{ C}$ esercitato su un oggetto sferico di piccole dimensioni (raggio di $1 \text{ cm}$), pari a $ 3,2233 \ 10^{-6} \text{ kg} / \text{s}$. Supponiamo innanzitutto che: a) il corpo che "cade" sia inizialmente fermo b) non ci siano altri corpi. Con queste ipotesi, il problema è mono-dimensionale: come sistema di riferimento prendiamo come asse delle ascisse la retta passante per il centro (di massa) del corpo celeste e la posizione iniziale del grave, e impostiamo come origine dell'asse $x$ proprio la posizione iniziale, e lo oriento "verso il basso", cosicché man mano che cade l'ascissa cresce (non è un'altitudine che diminuisce) e non facciamo confusione con eventuali segni $-$. Risolverò il problema in questo modo: 1) troverò un'espressione per l'ascissa del grave $x$ al tempo $t$ 2) imporrò che tale ascissa valga $26500$ 3) cercherò di esplicitare il tempo dall'equazione così trovata. Per il punto 1), dobbiamo scrivere la legge oraria del grave (come descriviamo qui https://library.weschool.com/lezione/moto-di-un-punto-materiale-e-sistema-di-riferimento-6580.html). Imponiamo l'equazione di Newton$$ F = m a \ \Rightarrow \ a = \frac{F}{m}$$Qui $m$ indica la massa del grave, $a$ la sua accelerazione, $F$ la risultante delle forze cui esso è soggetto. $a$ è incognita, $m$ è data, $F$ è la somma della forza di gravità $F_G$ e dell'attrito $F_A$ offerto dall'aria: siccome l'attrito si oppone al moto, possiamo scrivere $F = F_G - F_A$. Per $F_G$ è possibile dimostrare, grazie alla legge di gravitazione universale (che spieghiamo qua https://library.weschool.com/lezione/forza-di-gravit%C3%A0-formula-ed-esercizio-svolto-7585.html), che in prossimità della superficie di un pianeta essa vale $\frac{GM}{R^2}$, ove $R$ è il raggio del pianeta, $G$ la costante di gravitazione universale, ed $M$ la massa del pianeta. Usiamo questa approssimazione perché (considerando come raggio del pianeta quello terrestre) l'altitudine iniziale del grave è di due ordini di grandezza inferiore al raggio del corpo celeste, abbastanza da poterlo considerare "in prossimità" della superficie di quest'ultimo. Se $g$ è l'accelerazione di gravità sulla terra (come descritta qui https://library.weschool.com/lezione/moto-di-caduta-libera-equazioni-che-descrivono-6605.html), abbiamo che $F_G = 0,78 g \cdot m$. Per $F_A$, invece, possiamo usare l'espressione per l'attrito viscoso $F_A = \nu \cdot v$, ove $v$ è la velocità del grave e $\nu$ è un coefficiente che dipende da molte cose, ma che noi assumiamo pari al numero indicato all'inizio. In definitiva, sostituendo nell'equazione di Newton, abbiamo:$$ a = 0,78 g - \frac{\nu}{m} \ v$$Ricavare l'ascissa $x$ in funzione del tempo $t$ da questa equazione è una bella impresa: questa è una equazione differenziale ordinaria del secondo ordine non omogenea, che possiamo risolvere grazie alla teoria che spieghiamo qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-differenziali-a-variabili-separabili-soluzione-equazione-differenziale-integrale-indefinito-16445.html e qui https://library.weschool.com/lezione/equazioni-differenziali-del-primo-ordine-lineari-16446.html. Tralasciando i dettagli tecnici della soluzione, a me risulta questa legge oraria:$$ x(t) = 0,78 g \left(\frac{m}{\nu}\right)^2 \left( e^{-\frac{\nu}{m} t} -1 +\frac{\nu}{m} t \right) $$Ora per procedere al punto 2) occorre sostituire ai parametri i valori a noi noti (l'unica lettera che rimane è la $t$) ed eguagliare l'espressione così ottenuta a $26500$. Successivamente, per il punto 3), dovremo risolvere per la variabile $t$ l'equazione ottenuta al punto 2. Il problema che incontro è che questa equazione contiene la somma di un polinomio e un esponenziale, di conseguenza posso solo fornire una soluzione approssimata. Ti farò sapere appena trovo un modo furbo di risolvere l'equazione... intanto puoi provare anche tu! E controlla anche il procedimento teorico, perché purtroppo nessuno è esente da errori :P Ciao e buona serata!

Ciao Giovanni, ti ringrazio molto per avermi risposto. Dopo aver visionato la soluzione che mi hai molto gentilmente fornito ho approfonito la questione e mi sono reso conto di essermi imbarcato in qualcosa di eccessivamente grande. In merito alle tue imbeccate mi è stato possibile riformulare il quesito sotto un'ottica del tutto differente, con l'inserimento di nuovi dati e alcune formule atte a ricavarne altri ancora che sarebbe necessario aggiungere per avere un quadro realisticamente completo del problema. Mi appare lampante a questo punto di esigere letteralmente la Luna. Senza voler in alcun modo sminuire il tuo intelletto e la tua competenza in materia, che peraltro mi sembrano di livello assolutamente ottimo, credo, forse a ragione, che lo stesso Stephen Hawkins non solo avrebbe le sue belle difficoltà a trovare la soluzione ma non esiterebbe inoltre a lasciar cadere senza troppe remore la questione. In definitiva suppongo mi convenga orientarmi su qualcos'altro che possa comuque fare al caso mio pur senza rendere indispensabile il dover eseguire un quadruplo salto mortale all'indietro tra le fiamme dell'inferno. Scusami per il tempo che ti ho ingenuamente fatto perdere e grazie soprattutto per avermi aperto gli occhi. Ti auguro una buona giornata. Ciao, alla prossima occasione. - calogero salvaggio 28 Settembre 2016

Ciao ancora Calogero! Non ti abbattere! Ricorda che la fisica funziona a "stadi": magari non ci interessa sapere il valore corretto al miliardesimo di secondo, ma semplicemente sapere se la caduta impiega un minuto o un anno. La soluzione da me approssimata risulta essere $82.2277$ secondi, che mi sembra davvero poco. Forse ho sbagliato i conti, forse ho sbagliato a modellizzare il problema. L'importante è che una domanda ti abbia spinto a cercare una risposta! E di sicuro, questo tempo non è stato perso. Ciao e alla prossima! - Giovanni Barazzetta 29 Settembre 2016

Ciao Giovanni, mi trovi pienamente d'accordo: un'approssimazione è più che sufficiente considerato che il mio obiettivo immediato non è di certo quello di rivoluzionare il mondo. Ad ogni modo la tua soluzione mi conforta poiché si avvicina abbastanza a quella da me trovata arrabattandomi (erroneamente) con la formula del moto uniformemente accelerato che non tiene conto dell'attrito viscoso e cioè 73.54 secondi. ti ringrazio per l'interessamento e ti prometto che nel caso in cui il mio progetto dovesse effettivamente andare in porto una citazione non te la toglierebbe nessuno. Ti auguro una buona serata, ci sentiamo alla prossima occasione. - calogero salvaggio 29 Settembre 2016