equazioni di una rotazione

Errore di battitura, volevo scrivere: y'=x*sinα + y*cosα

Ciao Elisabetta! Certo che cambiano le equazioni se cambia il centro di rotazione, ci puoi scommettere! Lascia dia un po' di nomi: l'origine del piano cartesiano la chiamiamo $O$, e le coordinate $(x;y)$ di qualsiasi punto saranno proprio espresse da questa origine. Sappiamo fare una rotazione di un angolo $\alpha$ attorno ad $O$: se $P$ è un punto del piano, il suo "ruotato" di angolo $\alpha$ attorno ad $O$ sarà $\rho(P,\alpha,O)$: nota bene come ho messo le lettere: $\rho$ indica la rotazione, $P$ è il punto che dobbiamo ruotare, $\alpha$ l'angolo di rotazione, $O$ il centro della rotazione. E tanto per dirla tutta, giriamo in senso antiorario. Come hai detto tu, con tutte queste premesse $\rho(P,\alpha,O)$ è il punto di coordinate $( x \cos(\alpha) - y \sin(\alpha) ; x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha) )$. Ora il problema sta nel trovare quali sono le coordinate di $\rho(P,\alpha, C)$, dove $C$ è un punto diverso da $O$. Per far questo usiamo un trucco: "portiamo" $C$ in $O$, ruotiamo attorno ad $O$, poi riportiamo tutto dov'era prima! I matematici sono dei gran lazzaroni, lo so. Per traslare è molto utile la nozione di vettore: guarda qui https://library.weschool.com/lezione/grandezze-scalari-e-vettoriali-definizione-e-descrizione-di-un-vettore-6579.html per un'introduzione e qui per le operazioni con i vettori https://library.weschool.com/lezione/operazioni-con-vettori-somma-differenza-prodotto-scalare-e-prodotto-vettori-6617.html. Basti sapere che i vettori sono delle "frecce" che ci permettono di spostare i punti del piano; siccome siamo in due dimensioni, i vettori avranno due componenti, una orizzontale $x_v$ e una verticale $y_v$: $\vec{v} = \left(\begin{array}{c} x_v \\ y_v \end{array}\right)$. Se prendiamo un punto $P$ e lo trasliamo del vettore $\vec{v}$, il risultato sarà il punto $T(P,\vec{v})$, che ha coordinate $ (x + x_v ; y + y_v)$. Ancora un po' di pazienza che ci siamo quasi. Ora, dobbiamo traslare $C$ (e tutti i punti del piano) in $O$: se $C$ ha coordinate $(x_C; y_C)$, il vettore che occorre considerare è proprio $\left(\begin{array}{c} -x_C \\ -y_C \end{array}\right)$! Chiamo questo vettore $-\vec{c}$, per ricordarci che viene dal punto $C$ e che ha come componenti le sue coordinate cambiate di segno. Per portare $C$ al suo posto, invece, dobbiamo applicare l'opposto di questo vettore, o $- (-\vec{c})$, cioè $\vec{c}$ (che ha come componenti le stesse coordinate di $C$). Ora supponiamo di voler trovare $\rho(P, \alpha,C)$. Prima di tutto prendiamo $P$ e lo spostiamo di $-\vec{c}$, e lo chiamiamo $P'$: ora il centro è l'origine $O$; adesso ruotiamo $P'$ di $\alpha$ attorno ad $O$, che lo sappiamo fare, e troviamo $P''$; infine riportiamo $C$ dov'era: dobbiamo traslare tutto di $\vec{c}$, e troviamo $P'''$, quello che volevamo. Con una specie di diagramma potremmo scrivere$$ P \Rightarrow P' = T(P,-\vec{c}) \Rightarrow P'' = \rho (P',\alpha,O) \Rightarrow P''' = T(P'', \vec{c})$$Se vogliamo trovare le sue coordinate, ribocchiamoci le maniche e applichiamo, nell'ordine corretto, tutte le trasformazioni: 1) traslazione di $-\vec{c}$: $$\begin{array}{l} x - x_C \\ y- y_C \end{array}$$2) rotazione di $\alpha$: $$\begin{array}{l} (x - x_C) \cos(\alpha) - (y- y_C) \sin(\alpha) \\ (x - x_C) \sin(\alpha) + (y- y_C) \cos(\alpha) \end{array}$$3) traslazione di $\vec{c}$: $$\begin{array}{l} (x - x_C) \cos(\alpha) - (y- y_C) \sin(\alpha) + x_C \\ (x - x_C) \sin(\alpha) + (y- y_C) \cos(\alpha) + y_C \end{array}$$Ecco le nostre equazioni! Spero si leggano bene :/ Se hai dei dubbi, chiedi pure! Ciao e buona giornata.