Tra tutte le trasformazioni del piano quelle più complicate da capire probabilmente sono le rotazioni. Vediamo alcuni suggerimenti che possono essere utili per memorizzarne le equazioni e imparare a usarle correttamente.
Iniziamo col metterci d’accordo sulle notazioni che usiamo. Considereremo due sistemi di riferimento come quelli in figura, ruotati uno rispetto all’altro di un certo angolo. Indichiamo con $\mathcal{O}xy$ il primo (qui disegnato in nero) e con $\mathcal{O}XY$ le coordinate di quello ruotato (in rosso).
Le equazioni che collegano le coordinate $x$ $y$ con le $X$ e le $Y$ e che permettono di ricavare le une dalle altre hanno sempre questa forma: $$\begin{cases} X = ax+by \\ Y = bx - ay\end{cases}$$
I due coefficienti $a$ e $b$ sono numeri reali che soddisfano la condizione: $$a^2+b^2=1.$$
C’è qui una grossa differenza rispetto a ciò che succede in altre trasformazioni come le traslazioni o le simmetrie rispetto a un asse orizzontale o verticale. In una rotazione sia l’ascissa ruotata $X$ che l’ordinata ruotata $Y$ contengono nella loro espressione sia la $x$ che la $y$. Il modo in cui ciò succede però è molto particolare e non è troppo difficile da memorizzare. I coefficienti delle variabili “piccole” $x$ e $y$ si scambiano il posto quando passiamo da $X$ a $Y$, come illustrato dalla seguente figura.
Detto questo l’unica differenza che rimane è la presenza del segno $-$ in $Y$ e del segno $+$ in $X$.
Da dove arrivano queste equazioni? Qual è il loro significato? Per capirlo concentriamo la nostra attenzione su alcune rette di interesse particolare: quelle di equazione $Y=k$: nel sistema di coordinate ruotate esse corrispondono alle rette orizzontali. Applicando la trasformazione, sostituendo cioè alle cooridnate $X$ e $Y$ le loro espressioni in $x$ e $y$ date dalla formula precendete, otteniamo $-bx+ay=k$ ovvero $y=\dfrac{b}{a} x + \dfrac{k}{a}$, cioè una retta inclinata di coefficiente angolare $m_1=\dfrac{b}{a}$. La situazione è rappresentata in figura:
Analogamente per le rette verticali $X=h$ otteniamo $ax+by=h$ ovvero $y=-\dfrac{a}{b} x+\dfrac{h}{b}$ dove il coefficiente angolare questa volta è $m_2 = \dfrac{a}{b}$:
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Ciò che è importante notare è che se prendiamo i due coefficienti angolari e li moltiplichiamo tra di loro otteniamo $m_1 \cdot m_2 = \frac {b}{a} \cdot (-\frac{a}{b}) = -1$. Quindi le due rette in seguito alla trasformazione sono ancora perpendicolari, come si evince dalla condizione di perpendicolarità. La trasformazione stessa quindi conserva gli angoli e questa è una proprietà caratteristica delle rotazioni.
La condizione $a^2+b^2 = 1$ serve soltanto a far sì che vengano conservate anche le lunghezze dei segmenti in modo che non si producano effetti di dilatazione o contrazione del piano (in tal caso, avremmo un’omotetia).
Un caso particolare di rotazione spesso utilizzata è quella di $45^{\circ}$ in senso antiorario. Essa fa corrispondere all’asse delle ascisse ruotato $Y=0$ la bisettrice del primo e terzo quadrante $y=x$. In questo caso quindi il coefficiente angolare $m_1 = \dfrac{a}{b} = 1$, consente di concludere che $a=b$. Possiamo a questo punto determinare il valore dei parametri grazie all’altra condizione $$a^2+b^2=1 \Rightarrow a^2+a^2=2a^2=1\Rightarrow a^2=\frac{1}{2} \Rightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$
Quindi le equazioni di una rotazione di $45^\circ$ in senso orario sono $$\begin{cases} \displaystyle{X=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)} \\ \displaystyle{Y=\frac{\sqrt{2}}{2}(-x+y) }\end{cases}$$
mentre le equazioni di una rotazione di $45^\circ$ in senso antiorario sono $$\begin{cases} \displaystyle{X=\frac{\sqrt{2}}{2}(x-y)} \\ \displaystyle{Y=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)} \end{cases}$$