Da cosa dipende la pendenza di una retta? Se la vostra risposta è “dal coefficiente angolare $m$”, secondo l’equazione $y=mx+q$, siete sulla buona strada. Però qualcosa da dire rimane ancora.
L’inclinazione di una retta rispetto all’asse orizzontale è determinata dai coefficienti $a$ e $b$ dell’equazione in forma implicita
$$ ax+by+c=0 $$
Se può sembrare più complicato dover tenere conto dei due parametri $a$ e $b$ anziché del solo $m$, con un po’ di esercizio ci si può abituare a riconoscere a colpo d’occhio come sono inclinate tra di loro le rette.
Per esempio: come si può stabilire se due rette sono parallele? Innanzitutto ricordiamo che due rette sono parallele quando non si incontrano mai, quindi quando hanno la medesima inclinazione.
Se le loro equazioni sono in forma esplicita è sufficiente confrontare i valori di $m$: uguale inclinazione vuol dire uguale valore di coefficiente angolare. Per esempio le rette $y=2x+5$ e $y=2x-1$ hanno entrambe $m=2$ e sono pertanto parallele. Al contrario $y=3x$ e $y=1-x$ non lo sono, la prima ha $m=3$ mentre la seconda ha $m=-1$ (conta il coefficiente della $x$ e come ricorderete quando il numero non c’è si sottintende $1$).
Se però le rette sono espresse in forma implicita può succedere che sia necessario qualche passaggio in più. Innanzitutto due rette le cui equazioni implicite hanno gli stessi valori di $a$ e di $b$ sono sicuramente parallele: $2x-3y+4=0$ e $2x-3y -9=0$ lo sono, infatti una volta espresse in forma esplicita diventano $y=\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}$ e $y=\frac{2}{3}x-3$. Uguale $m$, uguale inclinazione, sono parallele.
Ma ci sono casi in cui i coefficienti $a$ e $b$ sono diversi ma le rette sono comunque parallele. Per esempio $4x-2y+8=0$ e $-8x+4y-2=0$ ridotte in forma esplicita diventano $y=2x+4$ e $y=2x+\frac{1}{2}$. Come prima: uguale $m$, uguale inclinazione, sono parallele.
Ciò che conta davvero è la proporzione tra i coefficienti $a$ e $b$: date due rette
$$ \begin{align} r_1: a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \\ r_2: a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \end{align}$$
esse sono parallele se e solo se vale la proporzione
$$ a_1 : a_2= b_1 : b_2 $$
oppure l’uguaglianza tra il prodotto degli estremi e quello dei medi:
$$ a_1 \cdot b_2 = a_2 \cdot b_1 $$
Anche le rette tra loro perpendicolari si possono riconoscere facendo riferimento alle relazioni tra coefficienti $a$ e $b$.
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Come mostra la figura sono perpendicolari quelle rette dove gli incrementi sulle ascisse e quelli sulle ordinate si scambiano tra di loro. Questo scambio ha come effetto che la pendenza dell’una diventa il reciproco dell’altra. Ma ancora non basta: se una retta è crescente la sua perpendicolare è decrescente quindi anche il segno va cambiato. Quindi due rette $r_1$ e $r_2$ sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è uguale a $-1$:
$$ m_1 \cdot m_2 = -1 $$
ovvero ricorrendo alla forma implicita deve valere la relazione
$$ a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2 = 0 $$
Crediti immagine: http://commons.wikimedia.org/wiki/User:Peo?uselang=it
http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Slope_of_a_line.png?uselang=it