Equazioni logaritmiche ed esponenziali
Salve, non capisco come risolvere questa equazione: ln (e+e^(3x-2))=1 Qualcuno può aiutarmi?
il 18 Aprile 2016, da Elisa Martinelli
Ciao Elisa! Per prima cosa lasciami riscrivere la tua equazione, per vedere se ho capito bene:$$ \ln \left( e + e^{3x - 2} \right) = 1 $$Si tratta di un'equazione logaritmica con dentro un esponenziale. Siccome sono due facce della stessa medaglia, ti rimando al nostro corso su esponenziali e logaritmi: https://library.weschool.com/corso/esponenziali-e-logaritmi-9433.html. In particolare, ti rimando a questa lezione per le equazioni logaritmiche https://library.weschool.com/lezione/equazioni-logaritmiche-spiegazione-con-esempi-9374.html e a quest'altra per quelle esponenziali https://library.weschool.com/lezione/studiare-risolvere-definire-equazioni-esponenziali-elementari-9354.html. Ma veniamo al tuo caso: per prima cosa le condizioni di esistenza del logaritmo. Dovremmo imporre che $e + e^{3x - 2} > 0 $. Per fortuna, questo avviene sempre: si tratta della somma di due numeri positivi, che non può essere altro che $ > 0$. Ora vorremmo fare sparire il logaritmo $\ln$: per farlo, eleviamo $e$ (la base di $\ln$) ad entrambi i membri dell'equazione: infatti, $a = b$ se e soltanto se $e^a = e^b$. Allora abbiamo: $$ \ln \left( e + e^{3x - 2} \right) = 1 \ \Leftrightarrow \ e^{\ln ( e + e^{3x - 2} )} = e^1 \ \Leftrightarrow \ e + e^{3x - 2} = e $$Quest'ultima è un'equazione solo esponenziale, che possiamo risolvere più facilmente. Infatti, elidendo le $e$ ad entrambi i membri otteniamo $e^{3x - 2} = 0$, che è impossibile (c'è un esponenziale uguale a $0$). Spero sia tutto chiaro, se hai altri dubbi chiedi pure! Ciao e buona giornata.