Esempi

Ciao Miriam! Dunque dunque, il teorema inverso di Bolzano ha il seguente enunciato: "Siano $f : I \rightarrow \mathbb{R}$ una funzione, $I$ un intervallo di $\mathbb{R}$, e sia $f$ monotona su $I$. Se $f(I)$ è a sua volta un intervallo, allora $f$ è continua su $I$". Si tratta dell'inverso di una proprietà delle funzioni continue, che puoi trovare qui https://library.weschool.com/lezione/teorema-di-bolzano-teorema-valore-intermedi-degli-zeri-13673.html: funzioni continue mandano intervalli in intervalli. Purtroppo, l'ipotesi di monotonia è necessaria; così come il fatto che l'immagine di $f$ sia un intervallo. Ti do subito dei controesempi: la funzione definita a tratti$$ p(x) = \begin{cases} x^2 & \text{se } x \leq 0 \\ -x^2 + 2 & \text{se } x > 0 \end{cases}$$è una funzione definita da $\mathbb{R}$ ad $\mathbb{R}$; ricordiamo che $\mathbb{R} = (-\infty, +\infty)$ è un intervallo: https://library.weschool.com/lezione/punti-di-accumulazione-intervalli-definizione-intervallo-matematica-13434.html. La sua immagine è tutto $\mathbb{R}$, che, appunto, è un intervallo. Ma la funzione non è monotona: sebbene sia il tratto prima di $0$ sia quello dopo $0$ siano decrescenti, abbiamo che $p(-1) = 1 = p(1)$, che va contro la definizione di monotonia (che diamo qui https://library.weschool.com/lezione/segno-della-derivata-prima-e-monotonia-di-una-funzione-7078.html). $p$ deve essere monotona $\text{su tutto }\mathbb{R}$! Come si vede, $p$ non è continua su $\mathbb{R}$: ha una discontinuità in $x=0$. Faccio notare che, se limitassimo la definizione di $p$ solo a $\mathbb{R}^-$ o $\mathbb{R}^+$, le ipotesi del teorema sarebbero soddisfatte (e infatti, quel tratto di funzione è continua). Per quanto riguarda la questione dell'intervallo, prendiamo la funzione$$ q(x) = \begin{cases} \ln (x) & \text{se } 0 < x < 1 \\ x & \text{se } x \geq 1 \end{cases}$$Questa funzione è definita da $(0, +\infty)$ (un intervallo) ed è proprio monotona: $\forall x_1, x_2 \in (0, +\infty) \quad x_1 < x_2 \Rightarrow q(x_1) < q(x_2)$. Ma $q\left( (0, +\infty) \right) = (-\infty, 0) \cup [1,+\infty)$, che sono $\text{due}$ intervalli. Anche $q$ ha una discontinuità, in $x=1$, di prima specie (puoi trovare più informazioni sulle discontinuità qui https://library.weschool.com/lezione/punti-discontinuita-terza-prima-specie-funzione-analisi-matematica-14935.html). Spero di esserti stato utile :3 Fammi sapere. Ciao e buona giornata!

Sei il migliore!!!!!!!!!!!!!!!! - Miriam Di Sarno 04 Febbraio 2016