Funzione
Come si trova una funzione reale di variabile reale f che soddisfi queste condizioni? f definita su R\(-1) strettamente decrescente per x>0 e risulta lim x-->+inf f(x)=0
il 15 Aprile 2016, da Andrea Lombardo
Ciao Andrea! La funzione che mi salta subito in mente è un'iperbole equilatera traslata: partiamo da un'iperbole con equazione riferita agli asintoti (come spiegato in fondo a questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/iperbole-equazione-formule-iperbole-equilatera-piano-cartesiano-11426.html), cioè da $ x y = 1 $ o, se preferisci, $ y = \frac{1}{x}$. Questa funzione soddisfa alle richieste di essere decrescente per $x>0$ (come si evince dalla definizione, che trovi qui https://library.weschool.com/lezione/segno-della-derivata-prima-e-monotonia-di-una-funzione-7078.html) e anche quella sul limite, dato che $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ (facile da calcolare, ma non si sa mai: https://library.weschool.com/lezione/quando-x-tende-all-infinito-in-un-limite-di-funzione-matematica-9619.html). Poi l'asintoto verticale deve essere in $x = -1$, mentre per questa funzione è in $x=0$. Niente paura! Se al posto di $x$ mettiamo $x + 1$, trasliamo il grafico a sinistra di $1$, e il gioco è fatto. In definitiva, io prenderei$$ f(x) = \frac{1}{x+1} $$Ovviamente molte altre risposte sono possibili: ad esempio, non è richiesto che ci sia un asintoto verticale in $x = -1$, anzi non ci è richiesto nulla per essere precisi; qualsiasi funzione definita su tutto $\mathbb{R}$ potrebbe andare bene, ad esempio $f(x) = e^{-x}$ soddisfa a tutte le richieste: il limite va bene, è strettamente decrescente, ed è definita su tutto $\mathbb{R}$, quindi a maggior ragione su $\mathbb{R} \setminus \{ -1\}$. Spero sia tutto chiaro! Se hai dubbi chiedi pure :3 Ciao e buona giornata!