Funzioni

Ciao Chiara! Innanzitutto, lascia che ricopi la tua funzione, per vedere se ho capito di quale funzione si tratta:$$ f(x) = 2 |\log (2x)| + \log(2x) - 2 $$Ti consiglio di seguire i punti elencati qui https://library.weschool.com/lezione/studio-di-funzione-lista-delle-cose-da-fare-7604.html. Ricorda che in presenza di un modulo è sempre (sempre!) meglio scrivere la funzione come una funzione "a tratti" (guarda questo contenuto https://library.weschool.com/lezione/equazioni-valore-assoluto-modulo-matematica-definizione-13050.html); nel tuo caso, verrebbe una cosa del genere:$$ f(x) = \begin{cases} 3 \log (2x) -2 & \text{ se } \log(2x) \geq 0 \\ -\log (2x) -2 & \text{ se } \log(2x) < 0 \end{cases} $$Ricorda che i logaritmi devono avere l'argomento strettamente maggiore di zero (guarda qui https://library.weschool.com/lezione/come-descrivere-studiare-funzione-base-argomento-del-logaritmo-9371.html). C'è uno fortissimo legame tra funzioni (strettamente) monotone e funzioni invertibili: se una funzione è monotona su un intervallo, è invertibile su quell'intervallo; inoltre, le funzioni monotone (e continue e derivabili) hanno la bella proprietà che enunciamo qui https://library.weschool.com/lezione/segno-della-derivata-prima-e-monotonia-di-una-funzione-7078.html: hanno la derivata di segno costante. Quindi, se una funzione è continua e derivabile su un certo intervallo e il segno della sua derivata non cambia (sempre su quell'intervallo), possiamo dire che è monotona (su quell'intervallo) e dunque invertibile (sempre e solo su quell'intervallo). Eseguendo uno studio della derivata e tenendo in considerazione quanto detto, scopriamo che la funzione $f$ è monotona decrescente su $(0; \ ^1/_2]$ e monotona crescente su $[\ ^1/_2; +\infty)$, quindi è invertibile su $(0; \ ^1/_2]$ e su $[\ ^1/_2; +\infty)$. Scegliamo uno dei due intervalli, e risolviamo rispetto a $x$ l'equazione $ f(x) = y$, cioè vogliamo arrivare a scrivere $ x = \dots $; se scegliamo l'intervallo $(0; \ ^1/_2]$, ad esempio, dobbiamo esplicitare la $x$ dall'equazione $-\log (2x) -2 = y$. A me, in questo caso, risulta $x = \frac{1}{2} e^{-y-2}$, cioè$$ $f^{-1} (x) = \frac{1}{2} e^{-x-2} $$Ora sostituendo questa espressione in quella di $f$, otteniamo$$ -\log \left( 2 \left( \frac{1}{2} e^{-x-2} \right) \right) -2 = -\log \left( e^{-x-2} \right) -2 = - (-x -2) -2 = x $$Questo "prova" che $f \left(f^{-1} (x) \right) = x $. Ti consiglio di provare a trovare l'inversa per l'altro intervallo: i passaggi sono del tutto analoghi. Spero sia tutto chiaro! Se hai qualsiasi dubbio, chiedi pure :D Ciao e buona serata!