funzioni esponenziali

Ciao Dario! Una crescita esponenziale è definita dalla legge $$x (t) = x_0 \cdot e^{k \cdot t}$$Nell'equazione precedente, $t$ rappresenta il tempo, $x(t)$ è la quantità che ci interessa al tempo $t$, $x_0$ è la quantità calcolata all'inizio, $e$ è il numero di Nepero e $k$ è una costante, detta costante di crescita. Nel nostro caso, la popolazione iniziale, cioè $x_0$, è di otto milioni. Sappiamo che ogni anno questa cresce del $3\%$: nel 1991, quindi, avremo una popolazione $x_1 = x_0 \cdot \displaystyle{\left( 1 + \frac{3}{100}\right)} = x_0 \cdot \displaystyle{\frac{103}{100}}$; nel 1992 di $x_2 = x_1 \cdot \displaystyle{\frac{103}{100}} = x_0 \cdot \displaystyle{\left(\frac{103}{100} \right)^2}$; e così via. Se il tempo $t$ lo misuriamo in anni, o porzioni di anno, avremo quindi la legge$$ x(t) = x_0 \cdot \left( \frac{103}{100} \right )^t$$Questa effettivamente è una funzione esponenziale! Ti rimando a questo contenuto per gli esponenziali: https://library.weschool.com/lezione/definire-studiare-dominio-andamento-funzione-esponenziale-matematica-9353.html. Ad ogni modo, possiamo calcolare con facilità la popolazione nel 2000 e nel 2020: basta inserire, nella formula appena trovata, $t=10$ e $t=30$ (perché trascorrono $10$ o $30$ anni dal 1990, rispettivamente). Più complicato è trovare la costante $k$: come vedi, le due basi sono diverse, una è $e$, l'altra è $\frac{103}{100}$. Per passare dall'una all'altra occorre il logaritmo: per una sua definizione, guarda qui https://library.weschool.com/lezione/come-descrivere-studiare-funzione-base-argomento-del-logaritmo-9371.html. Allora, l'equazione che dobbiamo risolvere, con incognita $k$, è $$ x_0 e^{k t} = x_0 \left( \frac{103}{100}\right)^{t}$$Possiamo semplificare per $x_0$, ed "eliminare" la $t$ da ambo i membri facendo un radicale di ordine $t$, le quantità coinvolte sono sicuramente positive (per i radicali, ti consiglio questo video https://library.weschool.com/lezione/radice-di-radice-prodotto-di-radici-operazioni-con-radicali-proprieta-condizioni-di-esistenza-15511.html): alla fine, otteniamo $k = \ln \displaystyle{\left( \frac{103}{100}\right)}$. Fammi sapere se ti tornano i conti! Ciao e buona giornata :D

Ops! Mi sono dimenticato il tempo necessario per il raddoppio della popolazione. Ma questo è facile: si tratta di un'equazione esponenziale. Ti suggerisco questo video: https://library.weschool.com/lezione/studiare-risolvere-definire-equazioni-esponenziali-elementari-9354.html. Se la popolazione iniziale è $x_0$, il doppio della popolazione è $2 \cdot x_0$: impostiamo allora l'equazione $x(t) = 2 \cdot x_0$, o, sostituendo l'espressione di $x(t)$,$$ x_0 \cdot \left( \frac{103}{100}\right)^{t} = 2 \cdot x_0 $$La soluzione è $ t = \log_{\frac{103}{100}} (2)$ o, cambiando la base al logaritmo, $t = \frac{\ln(2)}{\ln\left( \frac{103}{100} \right)}$ (la formula viene illustrata in questo video: https://library.weschool.com/lezione/come-cambiare-base-al-logaritmo-quali-sono-proprieta-dei-logaritmi-9372.html). Scusa per la dimenticanza :P