Funzioni esponenziali e logaritmiche

Ciao Dennis, ci ritroviamo! :) Inizio a linkarti questa lezione sulle disequazioni logaritmiche, in generale: https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-logaritmiche-logaritmi-esercizi-svolti-esempi-9375.html. Magari può esserti utile dare un'occhiata al corso dedicato alle funzioni logaritmiche ed esponenziali: https://library.weschool.com/corso/esponenziali-e-logaritmi-9433.html. Comunque vada: queste disequazioni si svolgono tutte, fondamentalmente, nello stesso modo. Prendiamo per esempio la seconda: $\log_{\frac{2}{3}} \left ( \log_2 (x^2+1) \right ) > 1$Per prima cosa è fondamentale stabilire il dominio di questa disequazione, cioè dove ha senso risolvere questa disequazione. Dato che l’argomento di ciascun logaritmo deve essere sempre maggiore strettamente di zero, ci ritroviamo a dover risolvere questo sistema: $\begin{cases} x^2+1 > 0 \\ \log_2(x^2+1) >0 \end{cases}$La prima è una disequazione di secondo grado (ecco qui il metodo risolutivo: https://library.weschool.com/lezione/risolvere-disequazioni-secondo-grado-intere-tabella-delta-12960.html) che è sempre verificata; la seconda è una disequazione logaritmica, che è equivalente a $x^2 + 1 > 1$ cioè a $x^2 > 0$, che è di nuovo una disequazione di secondo grado che è sempre verificata tranne che per $x = 0$. Di conseguenza tutta la disequazione dovrà essere svolta tenendo conto del fatto che $x=0$ non sarà una soluzione accettabile (se mai risulterà come soluzione). Detto questo, possiamo risolvere la disequazione vera e propria: $\begin{aligned}\log_{\frac{2}{3}} \left ( \log_2 (x^2+1) \right ) & > 1 \\ \log_2(x^2 + 1) & < \frac{2}{3} \\ x^2 + 1 & < 2^{\frac{2}{3}} \\ x^2 +1 - 2^{\frac{2}{3}} & < 0 \end{aligned}$Abbiamo trasformato la disequazione logaritmica in una disequazione di secondo grado, che ha per soluzione $- \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1} < x < \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1}$: dato che però dobbiamo togliere $x=0$ (per le condizioni di esistenza) la soluzione diventa quindi: $S: \qquad - \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1} < x < 0 \quad \vee \quad 0 < x < \sqrt{2^{\frac{2}{3}}-1}$Fammi sapere se c’è qualcosa che non ti è chiaro :)